プラマーモデル

プラマーモデルまたはプラマー球は、球状星団の観測に適合させるためにHCプラマーによって最初に使用された密度法則です。^{[1]現在では、恒星系の}N体シミュレーションのおもちゃのモデルとしてよく使用されています。

プラマーの3次元密度プロファイルは次のように表されます。 ここで、はクラスターの総質量、aはプラマー半径で、クラスターコアのサイズを設定するスケールパラメータです。対応するポテンシャルは次のように表されます。 ここで、Gはニュートンの重力定数です。速度分散は次のように表されます。 $${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{5}/{2}},}$$${\displaystyle M_{0}}$$${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$$$${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$$

等方性分布関数は 、 の場合となり、それ以外の場合は となります。ここで は特定のエネルギーです。 $${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {a ^{2}}{G^{5}M_{0}^{4}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$$${\displaystyle E<0}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$${\textstyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$

半径内に含まれる質量は次のように表される。 ${\displaystyle r}$$${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$$

プラマーモデルの他の多くの特性は、ヘルヴィヒ・デジョンゲの包括的な論文で説明されています。^[2]

表面密度が中心値の半分に低下するコア半径は です。 ${\displaystyle r_{c}}$${\textstyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$

半質量半径は${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

ビリアル半径は です。 ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$

2D 表面密度は次のようになります。 したがって、2D 投影質量プロファイルは次のようになります。 $${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}},}$$$${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}.}$$

天文学では、2D 投影された質量プロファイルが全質量の半分になる半径である 2D 半質量半径を定義すると便利です。 ${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$

Plummer プロファイルの場合: 。 ${\displaystyle R_{1/2}=a}$

どの地点でも脱出速度は $${\displaystyle v_{\rm {esc}}(r)={\sqrt {-2\Phi (r)}}={\sqrt {12}}\,\sigma (r),}$$

束縛軌道の場合、軌道の半径方向の転換点は特定のエネルギー によって特徴付けられ、特定の角運動量は3次方程式の正の根によって与えられます。 ここで、 となるため。この方程式には の 3 つの実根があります。2 つは正で 1 つは負です。これは となるためで、 は同じエネルギーの円軌道の特定の角運動量です。ここで は3 次方程式 の判別式の 1 つの実根から計算できます。この 3 次方程式自体も別の 3 次方程式であり、下線付きのパラメータは、、 、として定義されるヘノン単位 で無次元です。 ${\textstyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\ファイ (r)}$ ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\time {\vec {v}}|}$ $${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$$${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L<L_{c}(E)}$${\displaystyle L_{c}(E)}$${\displaystyle L_{c}}$ $${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$$${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$

プラマーモデルは、星団の観測された密度プロファイルを最もよく表している^[要出典]が、大きな半径での密度の急激な低下( )は、これらのシステムを適切に説明していない。 ${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$

中心付近の密度の挙動は、中心密度が分散する傾向を示す楕円銀河の観測結果と一致しません。

プラマー球はモンテカルロモデルとして容易に実現できるため、モデルの現実性に欠けるにもかかわらず、N体実験者の間で好んで選択されている。 ^[3]