プラトー・レイリー不安定性

流体力学において、プラトー・レイリー不安定性(しばしば単にレイリー不安定性と呼ばれる) は、落下する流体の流れが同じ総体積で液滴あたりの表面積が小さいパケットに分裂する理由と仕組みを説明します。これはレイリー・テイラー不安定性と関連があり、流体糸の分裂に関する流体力学のより広い分野の一部です。この流体不安定性は、液体のジェットを乱して液滴の安定した流れにする特定のタイプのインクジェット技術の設計に利用されています。

プラトー・レイリー不安定性の原動力は、液体が表面張力によって表面積を最小化する傾向があることである。最近、最終的なピンチングプロファイルについて、自己相似解を用いてかなりの量の研究が行われてきた。^{[1] [2]}

プラトー・レイリー不安定性は、ジョセフ・プラトーとレイリー卿にちなんで名付けられました。1873年、プラトーは実験的に、垂直に落下する水流の長さが直径の約3.13〜3.18倍を超えると水滴に分解されることを発見しました。この直径はπに近いと彼は指摘しました。^{[3] [4]}後に、レイリーは理論的に、円形断面を持つ垂直に落下する非粘性液体の柱の長さが円周を超えると水滴に分解するはずであることを示しました。円周は確かに直径のπ倍です。 ^[5]

この不安定性の説明は、流れの中に小さな乱れが存在することから始まります。^{[6] [7]}流れがどんなに滑らかであっても、これらは常に存在します (たとえば、液体ジェットノズルでは、ノズルと液体の流れの間の摩擦により、液体の流れに振動があります)。乱れを正弦波成分に分解すると、一部の成分は時間とともに大きくなり、他の成分は時間とともに減少することがわかります。時間とともに大きくなる成分の中には、他の成分よりも速く大きくなるものもあります。成分が減少するか大きくなるか、またどのくらい速く大きくなるかは、完全にその波数(単位長さあたりの山と谷の数の尺度) と元の円筒形の流れの半径の関数です。右の図は、単一の成分を誇張して示しています。

すべての可能な成分が最初はほぼ等しい（しかし非常に小さい）振幅で存在すると仮定すると、どの成分が最も速く成長するかを波数で決定することで、最終的な滴のサイズを予測できます。時間が経つにつれて、最大成長率を持つ成分が支配的になり、最終的には流れを滴に絞る成分になります。^[8]

これがどのように起こるのかを完全に理解するには数学的な発展が必要ですが（参考文献^{[6] [8]}を参照）、この図は概念的な理解を提供します。流れを取り囲む 2 つの帯、つまり 1 つは波の山で、もう 1 つは波の谷にある帯に注目してください。谷では、流れの半径が小さくなるため、ヤング - ラプラス方程式によれば表面張力による圧力が増加します。同様に、山では流れの半径が大きく、同じ理由により表面張力による圧力が減少します。これが唯一の効果であれば、谷の高い圧力によって、山の低圧領域に液体が押し込まれると予想されます。このようにして、時間の経過とともに波の振幅がどのように大きくなるかがわかります。

しかし、ヤング・ラプラス方程式は、 2 つの別々の半径成分の影響を受けます。この場合、1 つはすでに説明したように、流れ自体の半径です。もう 1 つは、波自体の曲率半径です。図にフィットした円弧は、これらをピークと谷で示しています。谷の曲率半径は実際には負であることに注目してください。これは、ヤング・ラプラス方程式によれば、谷の圧力を実際に下げることを意味します。同様に、ピークの曲率半径は正であり、その領域の圧力を上げます。これらの成分の影響は、流れ自体の半径の影響と逆になります。

一般的に、この 2 つの効果は完全には打ち消されません。波数と流れの初期半径に応じて、どちらかが他方よりも大きくなります。波数が、波の曲率半径が流れの半径よりも大きくなるような場合、そのような要素は時間の経過とともに減衰します。流れの半径の影響が波の曲率よりも大きくなる場合、そのような要素は時間の経過とともに指数関数的に増大します。

すべての計算が完了すると、不安定な成分（つまり、時間の経過とともに成長する成分）は、波数と初期半径の積が1未満（）である成分のみであることがわかります。最も速く成長する成分は、波数が次の式を満たす成分です^[8]${\displaystyle kR_{0}$

${\displaystyle kR_{0}\simeq 0.697.}$

特殊な例としては、蛇口から水が滴り落ちるときに小さな水滴が形成されることが挙げられます。水の一部が蛇口から離れ始めると、首が形成され、その後引き伸ばされます。蛇口の直径が十分に大きい場合、首は吸い込まれず、プラトー・レイリー不安定性が発生して小さな水滴に崩壊します。

プラトー・レイリー不安定性のもう一つの日常的な例は、排尿、特に男性の立ち排尿に起こります。^{[9] [10]}尿の流れは約15cm（6インチ）後に不安定になり、液滴に分解され、表面に衝突すると大きな跳ね返りを引き起こします。対照的に、尿がまだ安定した状態で表面に接触した場合、たとえば小便器や壁に直接排尿した場合、跳ね返りはほぼ完全に排除されます。

連続インクジェットプリンタ（ドロップオンデマンドインクジェットプリンタとは対照的）は、プリンタ用紙を汚す前にインク滴に分解する円筒状のインク流を生成する。調整可能な温度または圧力変動を使用して液滴のサイズを調整し、インクに電荷を与えることで、インクジェットプリンタは静電気を使用して液滴の流れを誘導し、プリンタ用紙上に特定のパターンを形成する^[11]

ウィキメディア・コモンズには、プラトー・レイリー不安定性に関連するメディアがあります。

• プラトー・レイリー不安定性 – 3D格子運動モンテカルロシミュレーション
• 水柱のサバール・プラトー・レイリー不安定性 – 適応数値シミュレーション
• プラトー-レイリー不安定性 PDF 形式を含む、落下する流体ジェットに関する MIT の講義は、非常に数学的です。