パイプネットワーク解析

流体力学におけるパイプ ネットワーク解析は、複数または多数の相互接続された分岐を含む油圧ネットワークを通る流体の流れを解析します。その目的は、ネットワークの個々のセクションの流量と圧力降下を決定することです。これは油圧設計でよく見られる問題です。

多くの利用者に水を供給するために、自治体の水道は給水網を経由していることが多い。この網の主要部分は相互接続されたパイプで構成される。この網は水力設計において特殊な問題を生み出し、その解決法は一般にパイプ網解析と呼ばれる。水道事業者は通常、これらの問題を自動的に解決するために専用のソフトウェアを使用する。しかし、こうした問題の多くは、ソルバーを備えたスプレッドシートや最新のグラフ電卓などのより簡単な方法で対処することもできる。

パイプの摩擦係数が取得されると（またはDarcy-Weisbach の式などのパイプ摩擦法則から計算されると）、ネットワーク上の流量と損失水頭を計算する方法を検討できます。通常、各ノードでの損失水頭（電位差）は無視され、パイプの仕様（長さと直径）、パイプの摩擦特性、および既知の流量または損失水頭を考慮して、ネットワーク上の定常流の解が求められます。

ネットワーク上の定常フローは、次の 2 つの条件を満たす必要があります。

1. どの接合部でも、接合部に入る総流量はその接合部から出る総流量に等しい（質量保存の法則、連続の法則、キルヒホッフの第一法則）
2. 任意の 2 つの接合点間では、水頭損失は経路に依存しません (エネルギー保存の法則、またはキルヒホッフの第 2 法則)。これは、ネットワーク内の任意の閉ループでは、ループ周辺の水頭損失が必ずゼロになるという主張と数学的に同等です。

十分な流量が分かっており、上記(1)と(2)で与えられる連立方程式が閉じている場合(未知数の数=方程式の数)、決定論的な解が得られます。

これらのネットワークを解くための古典的なアプローチは、ハーディ クロス法を使用することです。この定式化では、最初にネットワーク内の流れを調べて推定値を作成します。流れは体積流量Q で表されます。Q 値の初期推定値は、キルヒホッフの法則 (1) を満たす必要があります。つまり、Q7 がジャンクションに入り、Q6 と Q4 が同じジャンクションから出る場合、初期推定値は Q7 = Q6 + Q4 を満たす必要があります。初期推定が行われた後、2 番目の条件を評価できるようにループが考慮されます。開始ノードが与えられた場合、ループ 1 で示されているように、時計回りにループを回ります。Q が Q1 のようにループと同じ方向にある場合は、ダルシー–ワイスバッハの式に従って各パイプのヘッド損失を合計し、流れが Q4 のように逆方向の場合はヘッド損失を減算します。言い換えると、ループの方向でループの周りのヘッド損失を加算します。流れがループに沿っているかループに逆らっているかに応じて、一部のパイプでは水頭損失が発生し、一部のパイプでは水頭増加（マイナス損失）が発生します。

キルヒホッフの第 2 法則 (2) を満たすには、定常解で各ループについて 0 になる必要があります。実際のヘッド損失の合計が 0 に等しくない場合は、次の式で与えられる量だけループ内のすべてのフローを調整します。正の調整は時計回りの方向です。

${\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\sum {\scriptstyle {\text{ヘッド損失}}_{c}}-\sum {\scriptstyle {\text{ヘッド損失}}_{cc}}}{n\cdot (\sum {\frac {{\text{ヘッド損失}}_{c}}{Q_{c}}}+\sum {\frac {{\text{ヘッド損失}}_{cc}}{Q_{cc}}})}},}$

どこ

• ヘイゼン・ウィリアムズの場合nは1.85であり、
• Darcy–Weisbachの場合、nは2です。

時計回りの指定子 (c) は、ループ内で時計回りに移動するフローのみを意味します。一方、反時計回りの指定子 (cc) は、反時計回りに移動するフローのみを意味します。

ほとんどのネットワークには複数のループがあるため、この調整では問題は解決しません。ただし、フローの変更によって条件 1 が変わることはなく、したがって他のループは依然として条件 1 を満たすため、この調整を使用しても問題ありません。ただし、他のループに進む前に、最初のループの結果を使用する必要があります。

この方法の適応は、ハーディ クロス スキームの「疑似ループ」を使用してペアで結合された、ネットワークに接続された貯水池を考慮するために必要です。これについては、ハーディ クロス メソッドのサイトで詳しく説明されています。

現代的な方法は、上記のキルヒホッフの法則 (接合部とヘッドロスの基準) から一連の条件を作成するだけです。次に、ルート検索アルゴリズムを使用して、すべての方程式を満たすQ値を見つけます。文字通りの摩擦損失方程式ではQ ²という項を使用しますが、方向の変化は保持する必要があります。ヘッドロスが加算されるループごとに別の方程式を作成しますが、Q を二乗する代わりに、 | Q |· Q (| Q |はQの絶対値) を定式化に使用して、結果のヘッドロス計算で符号の変化が適切に反映されるようにします。

多くの場合、特に都市の実際の配水網（数千から数百万のノードに及ぶことがある）では、決定論的ソリューションを得るために必要な既知の変数（流量や水頭損失）の数は非常に多くなります。これらの変数の多くは未知であるか、仕様にかなりの不確実性があります。さらに、多くの配管網では、各配管の平均流量の変動によって説明できるフローにかなりの変動がある場合があります。上記の決定論的方法では、知識不足によるかフロー変動によるかにかかわらず、これらの不確実性を考慮することはできません。

これらの理由から、最近、ジェインズの最大エントロピー法に基づく、パイプ ネットワーク解析のための確率的手法が開発されました^{[1] 。 [2]} この手法では、連続的な相対エントロピー関数が未知のパラメータに対して定義されます。次に、このエントロピーは、キルヒホッフの法則、パイプの摩擦特性、指定された平均流量またはヘッド損失などのシステムに対する制約に従って最大化され、システムを説明する確率的ステートメント (確率密度関数) が与えられます。これを使用して、流量、ヘッド損失、またはパイプ ネットワーク内のその他の関心のある変数の平均値 (期待値) を計算できます。この分析は、ネットワークのグラフィカルな表現に関係なく分析の一貫性を保証する、パラメータ削減エントロピー定式化を使用して拡張されました^[3] 。パイプ フロー ネットワークの解析のためのベイズ確率定式化と最大エントロピー確率定式化の比較も提示され、特定の仮定 (ガウス事前分布) の下では、2 つのアプローチが平均流量の同等の予測につながることが示されています^[4]

給水システムの確率的最適化の他の方法は、シミュレーテッドアニーリング^[5]や遺伝的アルゴリズム^[6]などのメタヒューリスティックアルゴリズムに依存しています。

• N. Hwang、R. Houghtalen、「水力工学システムの基礎」、Prentice Hall、アッパーサドルリバー、ニュージャージー州。1996 年。
• LF Moody、「パイプの流れの摩擦係数」、Trans. ASME、vol. 66、1944 年。
• CF Colebrook、「パイプ内の乱流、特に平滑パイプ法則と粗パイプ法則の間の遷移領域に関する考察」、Jour. Ist. Civil Engrs.、ロンドン (1939 年 2 月)。
• Eusuff, Muzaffar M.; Lansey, Kevin E. (2003). 「シャッフルフロッグリーピングアルゴリズムを使用した配水ネットワーク設計の最適化」。水資源計画および管理ジャーナル。129 (3): 210-225。