ハーディクロス法

ハーディクロス法は、入力と出力は既知であるが、ネットワーク内の流れが不明な配管ネットワークシステム内の流れを決定するための反復法である。 ^{[1]この方法は、1936年11月に}イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校の構造工学教授で あったハーディクロスによって初めて発表された。^[2]ハーディクロス法は、不静定構造の力を決定する方法としてハーディクロスによって開発されたモーメント分布法を応用したものである。

ハーディ クロス法による配管フロー ネットワークの解析の導入は、自治体の給水設計に革命をもたらしました。この方法が導入される前は、水頭損失と流量の非線形関係のため、複雑な配管システムの配水管を解くことは非常に困難でした。この方法は、ニュートン ラプソン法やその他の数値法を採用したコンピューター解法アルゴリズムによって、手作業で非線形方程式を解く必要がなくなり、その後時代遅れになりました。

1930年、ハーディ・クロスは「固定端モーメントの分散による連続フレームの解析」という論文を発表し、この分野のエンジニアが構造解析を行う方法を変えることになるモーメント分散法について説明しました。 ^[3]モーメント分散法は、静的に不確定な構造における力を決定するために使用され、1930年代から1960年代にかけて、コンピュータ指向の方法が開発されるまで、エンジニアが安全に構造を設計することを可能にしていました。^[3] 1936年11月、クロスは同じ幾何学的方法をパイプネットワークの流量分布問題の解決に適用し、「導管または導体のネットワークにおける流量の解析」という論文を発表しました。^[1]

ハーディクロス法は、流れの連続性とポテンシャルの連続性を応用して、パイプネットワーク内の流れを反復的に解く方法です。^[1]パイプの流れの場合、流れの保存とは、パイプの各接合部での流入量と流出量が等しいことを意味します。ポテンシャルの保存とは、システム内の任意のループに沿った方向の損失水頭が合計でゼロであることを意味します（流れに対してカウントされる損失水頭が実際には水頭増加であると仮定）。

Hardy Cross は、フロー ネットワークを解く 2 つの方法を開発しました。各方法は、フローの連続性またはポテンシャルのいずれかを維持することから始まり、次にもう一方を繰り返して解きます。

ハーディクロス法では、システムに出入りする流量が既知であり、パイプの長さ、直径、粗さ、その他の主要な特性も既知であるか、または想定できることを前提としています。^[1]この方法では、流量と損失水頭の関係も既知であると想定していますが、特定の関係を使用する必要はありません。^[1]

パイプを通る水の流れの場合、損失水頭と流量の関係を決定するために、いくつかの方法が開発されています。ハーディ クロス法では、これらの関係のいずれも使用できます。

損失水頭と流量の一般的な関係は次のとおりです。

${\displaystyle h_{f}=k\cdot Q^{n}}$

ここで、kは単位流量あたりの損失水頭、nは流量指数です。ほとんどの設計状況では、パイプの長さ、直径、粗さなどのk を構成する値は既知または想定されているとみなされるため、ネットワーク内の各パイプのkの値を決定することができます。k を構成する値とnの値は、損失水頭を決定するために使用される関係に応じて変化します。ただし、すべての関係はハーディクロス法と互換性があります。^[4]

ハーディクロス法は、単純な回路やその他の流れのような状況を解くのにも使えることも注目に値します。単純な回路の場合、

${\displaystyle V=K\cdot I}$

は以下と同等である

${\displaystyle h_{f}=k\cdot Q^{n}}$。

係数 k を K、流量 Q を I、指数 n を 1 に設定することで、ハーディクロス法を使用して簡単な回路を解くことができます。ただし、電圧降下と電流の関係は線形であるため、ハーディクロス法は必要なく、非反復法を使用して回路を解くことができます。

ヘッドバランス法では、各接合部で流れの連続性を満たす初期推定値を使用し、その後、システム内の各ループにわたってポテンシャルの連続性が達成されるまで流れのバランスをとります。^[1]

以下の証明は、ハーディ・クロスの論文「導管または導体のネットワーク内の流れの分析」^{[1]から引用したもので、国立技術強化学習プログラムの水道・廃水工学のページ[4]}とロバート・J・ホータレン著の水理工学システムの基礎^[5]で検証できます。

各パイプの流量の初期推定が正しければ、システム内のループ上のヘッドの変化はゼロになります。ただし、初期推定が正しくない場合は、ヘッドの変化はゼロでなくなり、フローの変更を適用する必要があります。新しい流量は、古い流量と、ループ上のヘッドの変化がゼロになるような流量の変化の合計です。新しいループ上のヘッドの変化の合計は、になります。 ${\displaystyle \Sigma rQ^{n}}$${\displaystyle \デルタQ}$${\displaystyle Q=Q_{0}+\Delta Q}$${\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=0}$

の値はテイラー展開を使用して近似できます。 ${\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}}$

${\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=\Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q+...)=0}$

小さい場合、追加の項 は消えて、次のようになります。${\displaystyle \デルタQ}$${\displaystyle Q_{0}}$

${\displaystyle \Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q)=0}$

そして解決するのは${\displaystyle \デルタQ}$

${\displaystyle \Sigma rQ_{0}^{n}=-\Sigma nrQ_{0}^{n-1}\Delta Q}$

${\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}$

ループ上のヘッドをバランスさせる流量の変化は で近似されます。しかし、これはテイラー展開から無視された項による近似値にすぎません。ループ上のヘッドの変化はゼロではないかもしれませんが、最初の推定値よりも小さくなります。新しい を複数回繰り返して見つけることで、正しい解に近似します。^[1]${\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}$${\displaystyle \デルタQ}$

方法は次のとおりです。

1. 各パイプの流量を推測し、各接合部で流入量の合計が流出量の合計と等しいことを確認します。 (推測が正確である必要はありませんが、推測が正確であれば、解を見つけるのにかかる時間が短縮されます。)
2. システム内の各閉ループを決定します。
3. 各ループについて、時計回りのヘッド損失と反時計回りのヘッド損失を決定します。各パイプのヘッド損失は、を使用して計算されます。時計回りのヘッド損失は、時計回り方向の流れによるもので、反時計回りの場合も同様です。${\displaystyle h_{f}=rQ^{n}}$
4. 時計回りのヘッド損失から反時計回りのヘッド損失を差し引いて、各ループの合計ヘッド損失を決定します。${\displaystyle \Sigma rQ^{n}}$
5. 各ループについて、方向を参照せずに検索します (すべての値は正である必要があります)。${\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}$
6. 流れの変化は に等しい。${\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}$
7. 流量の変化が正の場合、ループのすべてのパイプに反時計回りの方向で適用します。流量の変化が負の場合、ループのすべてのパイプに時計回りの方向で適用します。
8. フローの変化が適切な範囲内になるまで、手順 3 から続行します。

フローのバランスをとる方法では、各ループにわたってポテンシャルの連続性を満たす初期推定を使用し、各ジャンクションでもフローの連続性が達成されるまでフローのバランスをとります。

ハーディ クロス法は、単純な数学のみに依存し、連立方程式を解く必要がないため便利です。ハーディ クロス法がなければ、エンジニアは手作業では簡単に解くことができない、可変指数を持つ複雑な連立方程式を解かなければなりません。

ハーディクロス法は、問題を解くために使用された最初の推測の誤りを反復的に修正します。^[1] その後の計算の誤りも反復的に修正されます。この方法に正しく従えば、プロセス中に小さな数学的誤りが一貫して発生しても、各パイプの適切な流れを見つけることができます。最後の数回の反復が細部に注意を払って行われる限り、解は依然として正しいものになります。実際、この方法の初期の反復では意図的に小数を省略して、計算を高速化することも可能です。

ハーディ クロス法は、パイプ ネットワーク内の流量分布を計算するために使用できます。右に示す単純なパイプ フロー ネットワークの例を考えてみましょう。この例では、流入および流出の流量は 10 リットル/秒です。n を 2、単位流量あたりのヘッド損失をr、各パイプの初期流量を次のように推定します。

上記の方法プロセスで概説した手順に従って、ヘッドのバランスをとる方法でネットワークを解決します。

1. 初期推測は、ネットワーク内の各接合部でフローの連続性が維持されるように設定されます。

2. システムのループは、ループ 1-2-3 とループ 2-3-4 として識別されます。

3. 各パイプの損失水頭を決定します。

ループ 1-2-3 の場合、時計回りのヘッド損失の合計は 25 で、反時計回りのヘッド損失の合計は 125 です。

ループ 2-3-4 の場合、時計回りのヘッド損失の合計は 125 で、反時計回りのヘッド損失の合計は 25 です。

4. ループ 1-2-3 における時計回り方向の総ヘッド損失は です。ループ 2-3-4 における時計回り方向の総ヘッド損失は です。 ${\displaystyle 25-125=-100}$${\displaystyle 125-25=100}$

5. の値は各ループごとに決定されます。図に示すように、両方のループで 60 であることがわかります (対称性のため)。 ${\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}$

6. 各ループの流量の変化は、式を使用して求められます。ループ 1-2-3 の場合、流量の変化は に等しく、ループ 2-3-4 の場合、流量の変化は に等しくなります。 ${\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}$${\displaystyle -100/60=-1.66}$${\displaystyle 100/60=1.66}$

7. 流量の変化はループ全体に適用されます。ループ 1-2-3 の場合、流量の変化は負であるため、その絶対値は時計回り方向に適用されます。ループ 2-3-4 の場合、流量の変化は正であるため、その絶対値は反時計回り方向に適用されます。両方のループにあるパイプ 2-3 の場合、流量の変化は累積されます。

その後、フローの変化が十分に小さくなるかゼロになるまで、ステップ 3 からプロセスが繰り返されます。

3. ループ1-2-3における総損失水頭は

時計回りのヘッド損失が反時計回りのヘッド損失と等しいことに注意してください。これは、このループ内のフローがバランスが取れており、流量が正しいことを意味します。ループ 2-3-4 の合計ヘッド損失もバランスが取れています (これも対称性による)。

この場合、この方法は 1 回の反復で正しい解を見つけました。他のネットワークでは、パイプ内の流れが正しくなるか、ほぼ正しくなるまで、複数回の反復が必要になる場合があります。

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