パネルデータの部分尤度法

パネル データの部分 (プールされた) 尤度推定は、与えられたの密度が各期間に対して正しく指定されていることを前提とするパネル分析の準最大尤度法ですが、与えられたの条件付き密度の誤った指定が許容されます。 ${\displaystyle y_{it}}$${\displaystyle x_{it}}$${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},\dots ,y_{iT})}$${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},\dots ,x_{iT})}$

具体的には、部分尤度推定では、条件付き密度の積を結合条件付き分布の密度として使用します。この一般性により、y _iの条件付き分布を完全に指定することは計算量が多いため、パネルデータ設定での最大尤度法が容易になります。 ^[1]一方、誤った指定を許容すると、一般的に情報の平等性が損なわれるため、推論には堅牢な標準誤差推定量が必要になります。

^{以下の説明では、Wooldridge [1]}の扱いに従います。特に、漸近導出は固定温度、増加窒素の設定で行われます。

x _itが与えられたときのy _itの条件付き密度をf _t ( y _it | x _it ;θ )と書き表すと、部分最大尤度推定量は次のように解きます。

${\displaystyle \max _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta )}$

この定式化では、 x _iが与えられた場合のy _iの結合条件付き密度は、Π _t f _t ( y _it | x _it ; θ )としてモデル化されます 。f _t (y _it |x _it  ; θ)は各t = 1,..., Tに対して正しく指定され、 E[f _t (y _it │x _it  ; θ)] を一意に最大化するθ ₀ ∈ Θが存在すると仮定します。 ただし、結合条件付き密度が正しく指定されているとは想定されていません。いくつかの正則性条件下では、部分 MLE は矛盾がなく、漸近的に正規です。

M-推定量に関する通常の議論（詳細はWooldridge ^[1]）によれば、√ N (θ _MLE - θ ₀ ) の漸近分散は A ⁻¹ BA ⁻¹であり、ここでA ⁻¹ = E[ Σ _t ∇ ² _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ)] ⁻¹かつ B=E[( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ) ) ( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it ; θ ) ) ^T ]である。 x _iが与えられたときの y _{iの結合条件付き密度が正しく指定されていれば、情報の等式から}B=Aとなるため、上記の漸近分散の式は簡略化される。しかし、特別な状況を除いて、部分 MLE によってモデル化された結合密度は正しくない。したがって、有効な推論のためには、上記の漸近分散の式を使用する必要があります。情報の等価性が保たれるための十分な条件の1つは、各期間の密度のスコアが相関していないことです。動的完全モデルでは、この条件が満たされるため、簡略化された漸近分散が有効です。^[1]

プールされた QMLE は、ポアソン分布の結果を持つパネル データが利用可能な場合にパラメーターを推定できる手法です。たとえば、一定期間にわたるさまざまな企業による特許申請件数に関する情報があるとします。プールされた QMLE には、観測されない効果 (ランダム効果または固定効果のいずれか) が必ずしも含まれているわけではなく、推定法は主にこれらの目的のために提案されています。計算要件は、特に固定効果ポアソン モデルと比較してそれほど厳しくありませんが、トレードオフとして、観測されない異質性が存在しないという強い仮定が課される可能性があります。プールとは、異なる期間Tにわたってデータをプールすることを指し、QMLE は準最大尤度手法を指します。

与えられたポアソン分布は次のように定義される：^[2]${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle f(y_{i}\mid x_{i})={\frac {e^{-\mu _{i}}\mu _{i}^{y_{i}}}{y_{i}!}}}$

ポアソンプールQMLEの出発点は条件付き平均仮定である。具体的には、コンパクトなパラメータ空間Bにあるものに対して、条件付き平均は^{[2]で与えられると仮定する。}${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{t}\mid x_{t}]=m(x_{t},b_{0})=\mu _{t}{\text{ for }}t=1,\ldots ,T.}$

コンパクトなパラメータ空間条件は、 M推定技術の使用を可能にするために課される一方、条件付き平均は、ポアソン過程の母平均が関心のあるパラメータであるという事実を反映している。この特定のケースでは、ポアソン過程を支配するパラメータは、ベクトル に関して変化することが許可されている。^[2]関数mは、多くの場合、時間の経過とともに静的であると指定されているにもかかわらず、原理的には時間の経過とともに変化する可能性がある。^[3]条件付き平均関数のみが指定されており、この平均条件が正しく指定されている限り、 の一貫した推定値が得られることに留意されたい。これにより、プールされたポアソン推定の準対数尤度を表す次の第1次条件が導かれる。^[2]${\displaystyle x_{t}\centerdot }$${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \ell _{i}(b)=\sum [y_{it}\log(m(x_{it},b))-m(x_{it},b)]}$

ポアソン過程は正の実数直線上で定義されるため、一般的な選択肢は です。 ^[3]これにより、条件モーメントが指数インデックス関数に簡約されます。ここで、は線形インデックス、exp はリンク関数です。^[4]${\displaystyle m=(x_{t},b_{0})=\exp(x_{t}b_{0})}$${\displaystyle x_{t}b_{0}}$