多項式ラッシュモデル

多値ラシュモデルは、二値 ラシュモデルを一般化したものです。これは、項目に対する応答を連続する整数で採点するプロセスを通じて特性または能力を測定することを目的とするあらゆる状況で適用できる測定モデルです。たとえば、このモデルは、リッカート尺度、評価尺度、および連続的に高くなる整数スコアが能力または達成度の増加を示すことを意図した教育評価項目 の使用に適用できます。

多値ラシュモデルは、ラシュ（1961）とアンダーセン（1977）による導出に続いて、ラシュモデルの一般形式の関連項を閾値と識別パラメータに分解することで、アンドリッチ（1978）によって導出されました。モデルが導出されたとき、アンドリッチは、説明目的とモデルの解釈の補助の両方のために、 心理測定学におけるリッカート尺度の使用に焦点を当てました。

このモデルは、(i) 項目に同じ数の閾値があり、(ii) 逆に、任意の閾値位置と閾値位置の平均との差が項目間で等しいか均一である場合に、評価尺度モデルと呼ばれることがあります。ただし、このモデルは、いわゆる評価尺度よりもはるかに一般的な用途に使用されているため、誤解を招く可能性があります。このモデルは、特に教育のコンテキストで適用される場合、部分的クレジット モデルと呼ばれることもあります。部分的クレジット モデル (Masters、1982) は、同一の代数形式ですが、後になって別の出発点から導き出されたため、多少異なる方法で解釈されます。部分的クレジット モデルでは、項目ごとに異なる閾値も使用できます。このモデル名はよく使用されますが、Andrich (2005) は、Masters のアプローチの要素に関連する問題の詳細な分析を提供しています。これらの問題は、モデルと互換性のある応答プロセスの種類、および閾値位置の推定値が無秩序な経験的状況に特に関連しています。これらの問題については、以下のモデルの詳細説明で説明します。

このモデルは、Rasch モデルを定義する特有の特性 (具体的には、合計生スコアがモデルのパラメータの十分な統計量である) を維持しながら、連続した整数スコアの使用に関する理論的基礎を提供する一般的な確率測定モデルです。この特性の詳細については、Rasch モデルのメイン記事を参照してください。この特性を維持することに加えて、このモデルでは、応答カテゴリが潜在的な属性または特性の増加レベルを表し、したがって順序付けられているという仮説の厳格な経験的テストが可能です。このモデルがこの仮説をテストするための基礎を提供する理由は、しきい値が意図した順序を表示しないことが経験的にあり得るからです。

二値データに対するRasch モデルのより一般的な形式では、特定の項目のスコアは、個人が超えた潜在特性の閾値位置の数として定義されます。これは、測定プロセスが文字通りそのようなカウントを行うことを意味するのではなく、むしろ、潜在連続体の閾値位置は、条件付き最大尤度推定などの推定プロセスを通じて、応答データのマトリックスから推測されるのが一般的です。一般に、測定プロセスの中心となる特徴は、個人が一連の連続した、または隣接する順序付けられたカテゴリの 1 つに分類されることです。特定の実験コンテキストで使用される応答形式は、さまざまな方法でこれを実現します。たとえば、回答者は、ステートメントに対する自分の支持レベルを最もよく表すと思われるカテゴリ (「強く同意する」など) を選択する場合があり、審査員は明確に定義された基準に基づいて個人をカテゴリに分類する場合があり、個人は一連の参照刺激との類似性に基づいて物理的刺激を分類する場合があります。

多値 Rasch モデルは、回答が 2 つのカテゴリにのみ分類可能な二値データ用のモデルに特化しています。この特殊なケースでは、項目の難易度と (単一の) しきい値は同一です。しきい値の概念については、次のセクションで詳しく説明します。

まず、

${\displaystyle X_{ni}=x\in \{0,1,\dots ,m_{i}\}\,}$

は整数ランダム変数で、 は項目iの最大スコアです。つまり、変数は0 から最大 までの整数値を取るランダム変数です。 ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle X_{ni}}$${\displaystyle m_{i}}$

多項式ラッシュモデル（アンドリッチ、1978）では、結果の確率は ${\displaystyle X_{ni}=x}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x,x>0\}={\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{x}(\beta _{n}}-{ \tau _{ki}})}}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}};}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=0\}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}}$

ここで、は潜在連続体上のアイテムiのk番目の閾値位置、 は同じ連続体上の人物nの位置、 はアイテムiの最大スコアです。これらの式は、 ${\displaystyle \tau_{ki}}$${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ ki}})}}{\sum _{j=0}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{キ}})}}}}$

ここで、 の値は計算の便宜上次のように選択されます。 ${\displaystyle \tau_{0i}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0}$

同様に、Rasch の「評価スケール」モデル (Andrich、1978) は次のようになります。

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-({\delta _{i}-\tau _{k}}))}}{\sum _{j=0}^{m}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{(\delta _{i}-\tau _{k}}))}}}}$

ここで、は項目iの難易度、はすべての項目に共通する評価スケールのk番目の閾値位置です。mは最大スコアであり、すべての項目で同一です。は計算の便宜上選択されます。 ${\displaystyle \delta_{i}}$${\displaystyle \tau_{k}}$${\displaystyle \tau_{0}}$

特定の実証的コンテキストに適用すると、このモデルは、特定の結果の確率がこれらの人物とアイテムのパラメータの確率関数であるという数学的仮説と見なすことができます。特定のカテゴリの確率と人物の位置の関数の関係を示すグラフは、カテゴリ確率曲線(CPC) と呼ばれます。0 から 4 のスコアが付けられた 5 つのカテゴリを持つアイテムの CPC の例を図 1 に示します。

与えられた閾値は、連続体をその位置より上と下の領域に分割します。閾値は、人が隣接するカテゴリに分類され、2 つの連続するスコアのいずれかを取得する可能性が等しい潜在的な連続体上の位置に対応します。項目iの最初の閾値、は、人が 0 または 1 のスコアを取得する可能性が等しい連続体上の位置であり、2 番目の閾値は、人が 1 と 2 のスコアを取得する可能性が等しい位置です。以下同様に続きます。図 1 に示す例では、閾値の位置はそれぞれ -1.5、-0.5、0.5、1.5 です。 ${\displaystyle \tau_{ki}}$${\displaystyle \tau_{1i}}$

回答者はさまざまな方法でスコアを得ることができます。たとえば、リッカート応答形式が採用されている場合、「強く反対」には 0、「反対」には1、「賛成」には 2、「強く賛成」には 3 が割り当てられます。教育心理学における評価の文脈では、読解力など、特定の領域における達成レベルの増加を特徴付ける明示的な基準または説明に従って、連続的に高い整数スコアが付与される場合があります。共通かつ中心的な特徴は、何らかのプロセスによって、各個人が評価項目を集合的に構成する一連の順序付けられたカテゴリの 1 つに分類される必要があることです。

モデルの特徴を詳しく説明する中で、Andrich (2005) は、その構造が同時分類プロセスを必要とし、その結果単一の顕在的応答が生じ、一連の二分法的な潜在的応答が関与していることを明らかにしています。さらに、潜在的な二分法応答は、次のように特徴付けられる Guttman 構造と関連する応答空間内で機能します。

させて

${\displaystyle Y_{nk}=y\in \{0,1\},k\in \{0,1,\dots ,m\}\,}$

は独立した二値ランダム変数の集合である。Andrich (1978, 2005) は、多値Raschモデルではこれらの二値応答が潜在的なGuttman応答サブスペースに従う必要があることを示している。

${\displaystyle \Omega '\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{1,\dots ,1,0,\dots ,0\}}$

ここで、x個の 1 の後にmx個の 0が続きます。たとえば、しきい値が 2 つの場合、この応答サブスペースで許容されるパターンは次のようになります。

${\displaystyle 0,0\Leftrightarrow 0}$

${\displaystyle 1,0\Leftrightarrow 1}$

${\displaystyle 1,1\Leftrightarrow 2}$

ここで、各パターンによって暗示される整数スコアx（およびその逆）は、図の通りです。この部分空間がモデルによって暗示される理由は次のとおりです。

${\displaystyle P_{nxi}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{ \tau _{ki}})}},\ k=x,\,}$

となる確率を とし、 とします。この関数は二値データのRasch モデルの構造を持ちます。次に、2 つのしきい値の場合の次の条件付き確率を考えます。 ${\displaystyle Y_{nki}=1}$${\displaystyle Q_{nxi}=1-P_{nxi}}$

${\displaystyle {\frac {P_{n1}Q_{n2}}{Q_{n1}Q_{n2}+P_{n1}Q_{n2}+P_{n1}P_{n2}}}.}$

この条件付き確率は、

${\displaystyle {\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{1}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}{1+\sum _{j=1}^{2}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}}}$

これは、今度は多値ラシェモデルによって与えられる確率です。これらの式の分母から、この例の確率は、またはの応答パターンを条件としていることがわかります。したがって、一般に、応答サブスペース は、前に定義したように、多値ラシェモデルの構造に固有のものであることは明らかです。サブスペースに対するこの制限は、応答の整数スコアリングを正当化するために必要です。つまり、スコアは、超えた順序付けられたしきい値の数に過ぎません。Andrich (1978) は、各しきい値での均等な識別もこの正当化に必要であることを示しました。 ${\displaystyle Pr\{X_{ni}=1\}}$${\displaystyle \{0,0\},\{1,0\},}$${\displaystyle \{1,1\}}$${\displaystyle \Omega '}$

多値ラシェモデルでは、特定の項目のスコアがxである場合、その個人は連続体上の特定の領域より下のx 個の閾値を同時に超え、その領域より上の残りのm  −  x個の閾値は超えられなかったことを意味します。これを可能にするには、図 1 の例に示すように、閾値が自然な順序になっている必要があります。閾値推定値の順序が乱れていることは、連続したスコアによって表される分類が潜在特性のレベルの上昇を反映する評価コンテキストを構築できていないことを示しています。たとえば、閾値が 2 つあり、2 番目の閾値の推定値が連続体上で最初の閾値の推定値よりも低い状況を考えてみましょう。位置を文字どおりに解釈すると、個人をカテゴリ 1 に分類することは、その人の位置が 2 番目の閾値を同時に超えるものの、最初の閾値は超えられなかったことを意味します。次に、これは、上で説明したように、モデルの構造に固有のパターンのサブスペースに属さないパターンである応答パターン {0,1} を意味します。

したがって、閾値推定値が乱れている場合、その推定値を文字通りに受け取ることはできません。むしろ、乱れ自体が、測定の基礎として連続する整数スコアの使用を正当化するために論理的に満たさなければならない基準を分類が満たしていないことを本質的に示しています。 この点を強調するために、Andrich (2005) は、不合格、合格、単位、および優等の成績が授与される例を使用しています。 これらの成績、つまり分類は通常、達成度の増加を表すことを目的としています。 潜在的連続体上の位置が、合格と単位が授与される可能性が最も高い連続体上の領域間の閾値にある人物 A について考えてみましょう。 また、単位と優等生が授与される可能性が最も高い領域間の閾値にある人物 B についても考えてみましょう。 Andrich (2005, p. 25) が検討した例では、乱れた閾値を文字通りに解釈すると、人物 A の位置 (合格/単位閾値) が人物 B の位置 (単位/優等閾値) よりも高いことを意味します。つまり、文字通りに解釈すると、乱れた閾値の位置は、人が合格/単位閾値に達するには、単位/優等閾値に達するために必要な達成レベルよりも高いレベルを示す必要があることを意味します。明らかに、これはこのような評価システムの意図に反しています。したがって、閾値の乱れは、成績の付与方法が評価システムの意図と一致していないことを示しています。つまり、乱れは、評価システムに暗黙的に含まれている仮説 (成績はパフォーマンスの増加の順序付けられた分類を表す) が経験的データの構造によって実証されていないことを示しています。

• アンダーセン、EB（1977）。十分な統計と潜在特性モデル、Psychometrika、42、69-81。
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• Wright, BD & Masters, GN (1982)。 評価尺度分析。シカゴ: MESA プレス。(客観的測定研究所から入手可能。)

• 乱れた閾値とアイテム情報
• カテゴリー障害と閾値障害
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