分析を簡素化するために参照フレームを回転させるテンソル
直接求積ゼロ 変換 （ DQZ 、 DQ0 [1] または DQO [2] 、 小文字 の場合もある） または ゼロ直接求積 [3] （ 0DQ または ODQ 、小文字の場合もある） 変換は、解析を簡素化するために、3要素ベクトルまたは3行3列の要素行列の 参照フレーム を回転させる テンソル です。 DQZ 変換は、 クラーク変換 とパーク変換の積であり、1929年に ロバート・H・パーク によって最初に提案されました 。 [4]
DQZ 変換は、三相回路 の電気工学の分野でよく使用されます 。この変換を使用すると、 AC 波形の参照フレームを回転させて DC 信号にすることができます。その後、これらの DC 量に対して簡略化された計算を実行してから、逆変換を実行して実際の三相 AC 結果を復元することができます。たとえば、DQZ 変換は、 三相 同期機 の解析を簡略化するため、または三相 インバータ の制御の計算を簡略化するためによく使用されます。三相同期機の解析では、この変換により、三相ステータとロータの量が単一の回転参照フレームに転送され、時間とともに変化する インダクタンス の影響が排除され、システムが 線形時間不変システムに変換されます。
導入 DQZ 変換は、パーク変換行列とクラーク変換行列から構成されます。クラーク変換 ( エディス クラークにちなんで命名) は、 ABC 参照フレームのベクトルを XYZ ( αβγ とも呼ばれる) 参照フレームに変換します。クラーク変換の主な価値は、 ABC 参照ベクトルの 3 つの成分すべてに共通する部分を分離することです。つまり、共通モード成分 (つまり Z 成分) を分離します。べき乗不変、右手、均一スケールのクラーク変換行列は、次のようになります。
け
Ｃ
=
2 3
⋅
[
1
−
1 2
−
1 2
0
3
2
−
3
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle K_{C}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。 ABC参照列ベクトルを XYZ 参照フレームに 変換するには 、ベクトルに Clarke 変換行列を事前に乗算する必要があります。
u
→
X
Y
Z
=
K
C
⋅
u
→
A
B
C
{\displaystyle {\vec {u}}_{XYZ}=K_{C}\cdot {\vec {u}}_{ABC}}
。 また、 XYZ参照列ベクトルを ABC 参照フレームに 戻すには 、ベクトルに逆クラーク変換行列を事前に乗算する必要があります。
u
→
A
B
C
=
K
C
−
1
⋅
u
→
X
Y
Z
{\displaystyle {\vec {u}}_{ABC}=K_{C}^{-1}\cdot {\vec {u}}_{XYZ}}
。 パーク変換（ロバート・H・パーク にちなんで命名）は、 XYZ 参照フレームのベクトルを DQZ 参照フレームに変換し ます。パーク変換の主な目的は、ベクトルの参照フレームを任意の周波数で回転させることです。パーク変換は、信号の周波数スペクトルをシフトして、任意の周波数が「直流」として表示され、古い直流が任意の周波数の負として表示されるようにします。パーク変換行列は、
K
P
=
[
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
0
−
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
0
0
1
]
{\displaystyle K_{P}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
、 ここで、 θ は任意の ω 周波数の瞬間角度です 。XYZ 参照ベクトルを DQZ 参照フレームに変換するには 、 列 ベクトル 信号に Park 変換行列を事前に乗算する必要があります。
u
D
Q
Z
=
K
P
⋅
u
X
Y
Z
{\displaystyle u_{DQZ}=K_{P}\cdot u_{XYZ}}
。 また、 DQZ参照ベクトルから XYZ 参照フレームに 変換するには 、列ベクトル信号を逆パーク変換行列で事前に乗算する必要があります。
u
X
Y
Z
=
K
P
−
1
⋅
u
D
Q
Z
{\displaystyle u_{XYZ}=K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ}}
。 Clarke 変換と Park 変換を組み合わせると、 DQZ 変換が形成されます。
K
C
P
=
K
P
⋅
K
C
{\displaystyle K_{CP}=K_{P}\cdot K_{C}}
→
[
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
0
−
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
0
0
1
]
⋅
2
3
[
1
−
1
2
−
1
2
0
3
2
−
3
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle \to {\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
→
2
3
[
cos
(
θ
)
cos
(
θ
−
2
π
3
)
cos
(
θ
+
2
π
3
)
−
sin
(
θ
)
−
sin
(
θ
−
2
π
3
)
−
sin
(
θ
+
2
π
3
)
2
2
2
2
2
2
]
{\displaystyle \to {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\-\sin {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}}
逆変換は次のようになります。
K
C
P
−
1
=
2
3
[
cos
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
2
2
cos
(
θ
−
2
π
3
)
−
sin
(
θ
−
2
π
3
)
2
2
cos
(
θ
+
2
π
3
)
−
sin
(
θ
+
2
π
3
)
2
2
]
{\displaystyle K_{CP}^{-1}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta \right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}}
ABC参照ベクトルを DQZ 参照フレームに 変換するには 、列ベクトル信号を DQZ 変換行列で事前に乗算する必要があります。
u
D
Q
Z
=
K
C
P
⋅
u
A
B
C
{\displaystyle u_{DQZ}=K_{CP}\cdot u_{ABC}}
。 また、 DQZ参照ベクトルから ABC 参照フレームに 戻すには 、列ベクトル信号を逆 DQZ 変換行列で事前に乗算する必要があります。
u
A
B
C
=
K
C
P
−
1
⋅
u
D
Q
Z
{\displaystyle u_{ABC}=K_{CP}^{-1}\cdot u_{DQZ}}
。 この変換をよりよく理解するために、変換の導出が含まれています。
導出
パーク変換は、ドット積 の概念 とベクトルの他のベクトルへの投影に基づいています。まず、2 つの単位ベクトル と (古い参照フレームから見た新しい参照フレームの単位ベクトルまたは軸)、および 3 番目の任意のベクトル を想像してみましょう。2 つの単位ベクトルとランダム ベクトルは、古い参照フレームの 直交 座標で定義できます 。
u
^
D
{\displaystyle {\hat {u}}_{D}}
u
^
Q
{\displaystyle {\hat {u}}_{Q}}
v
→
X
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}}
u
^
D
=
cos
(
θ
)
u
^
X
+
sin
(
θ
)
u
^
Y
{\displaystyle {\hat {u}}_{D}=\cos {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{X}+\sin {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{Y}}
u
^
Q
=
−
sin
(
θ
)
u
^
X
+
cos
(
θ
)
u
^
Y
{\displaystyle {\hat {u}}_{Q}=-\sin {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{X}+\cos {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{Y}}
v
→
X
Y
=
v
X
u
^
X
+
v
Y
u
^
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}=v_{X}{\hat {u}}_{X}+v_{Y}{\hat {u}}_{Y}}
、 ここで 、 と は 古い座標系の単位基底ベクトルであり、 は と単位ベクトル 間の角度 （つまり、2 つの参照フレーム間の角度）です。任意のベクトルを 2 つの新しい単位ベクトルに投影すると、ドット積が求められます。
u
^
X
{\displaystyle {\hat {u}}_{X}}
u
^
Y
{\displaystyle {\hat {u}}_{Y}}
θ
{\displaystyle \theta }
u
^
X
{\displaystyle {\hat {u}}_{X}}
u
^
D
{\displaystyle {\hat {u}}_{D}}
v
D
=
u
^
D
⋅
v
→
X
Y
{\displaystyle v_{D}={\hat {u}}_{D}\cdot {\vec {v}}_{XY}}
→
cos
(
θ
)
v
X
+
sin
(
θ
)
v
Y
{\displaystyle \to \cos {\left(\theta \right)}v_{X}+\sin {\left(\theta \right)}v_{Y}}
v
Q
=
u
^
Q
⋅
v
→
X
Y
{\displaystyle v_{Q}={\hat {u}}_{Q}\cdot {\vec {v}}_{XY}}
→
−
sin
(
θ
)
v
X
+
cos
(
θ
)
v
Y
{\displaystyle \to -\sin {\left(\theta \right)}v_{X}+\cos {\left(\theta \right)}v_{Y}}
。 したがって、は軸 への の投影で あり、は軸 への の投影です 。これらの新しいベクトル成分、 およびは、新しい DQ 参照フレームの観点から見た 元のベクトルである 新しいベクトルを構成します 。
v
D
{\displaystyle v_{D}}
v
→
X
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}}
u
^
D
{\displaystyle {\hat {u}}_{D}}
v
Q
{\displaystyle v_{Q}}
v
→
X
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}}
u
^
Q
{\displaystyle {\hat {u}}_{Q}}
v
D
{\displaystyle v_{D}}
v
Q
{\displaystyle v_{Q}}
v
→
D
Q
{\displaystyle {\vec {v}}_{DQ}}
v
→
X
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}}
DQ 参照フレームへ の投影 。
v
→
X
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}}
上記の正の角度により、新しい DQ 参照フレームに移行したときに任意のベクトルが逆方向に回転することに注意してください 。言い換えると、新しい参照フレームに関する角度は、古い参照フレームに対する角度よりも小さくなります。これは、ベクトルではなく参照フレームが前方に回転したためです。実際、参照フレームの前方回転は、ベクトルの負の回転と同じです。3 相電気システムなど、古い参照フレームが前方に回転している場合、結果として得られる DQ ベクトルは静止したままになります。
θ
{\displaystyle \theta }
上記の操作は、単一の行列方程式で要約できます。
v
→
D
Q
=
[
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
]
⋅
v
→
X
Y
{\displaystyle {\vec {v}}_{DQ}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}\end{bmatrix}}\cdot {\vec {v}}_{XY}}
。 このテンソルは 3 次元の問題に拡張することができ、回転の軸は影響を受けません。次の例では、回転は Z 軸を中心に行われますが、任意の軸を選択することもできます。
K
P
=
[
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
0
−
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
0
0
1
]
{\displaystyle K_{P}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
。 線形代数の観点から見ると、これは単に z 軸を中心とした時計回りの回転であり、数学的には 三角関数の差角の公式 と同等です。
ABC単位基底ベクトル 単位基底ベクトルA 、 B 、 C を持つ 3 次元空間を考えます 。下の図の球はコンテキストの参照フレームのスケールを示すために使用され、ボックスは回転コンテキストを提供するために使用されます。
ABC 単位基底ベクトル。 通常、電気工学 (または三相システムを使用するその他のコンテキスト) では、三相コンポーネントは 2 次元の視点で示されます。ただし、3 つの相は独立して変化できるため、定義上、互いに直交しています。これは、上の図に示すように、3 次元の視点を意味します。つまり、2 次元の視点は、実際には 3 次元の現実を平面に投影したものを示しています。
三次元現実の二次元的視点。 3相問題は通常、この平面内で動作するものとして説明されます。実際には、問題は平衡位相問題（つまり、 v A + v B + v C = 0）であり、ネットベクトルは
v
→
=
v
A
u
^
A
+
v
B
u
^
B
+
v
C
u
^
C
{\displaystyle {\vec {v}}=v_{A}{\hat {u}}_{A}+v_{B}{\hat {u}}_{B}+v_{C}{\hat {u}}_{C}}
常にこの平面上にあります。
AYCの単位基底ベクトル クラーク変換を構築するには、実際にはパーク変換を 2 つのステップで使用します。目標は、 C 軸をボックスの角に回転させることです。こうすることで、回転した C軸は、前述の 2 次元の透視図の平面に直交します。クラーク変換を構築するための最初のステップでは、 ABC参照フレームを A 軸を中心に 回転させる必要がある ため、今回は、パーク変換の最初の要素に 1 が入ります。
K
1
=
[
1
0
0
0
cos
(
−
π
4
)
sin
(
−
π
4
)
0
−
sin
(
−
π
4
)
cos
(
−
π
4
)
]
{\displaystyle K_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}&\sin {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}\\0&-\sin {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}&\cos {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}\end{bmatrix}}}
→
[
1
0
0
0
1
2
−
1
2
0
1
2
1
2
]
{\displaystyle \to {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
次の図は、任意のベクトルが K 1 行列 で事前に乗算されるときに、 ABC 参照フレームが AYC'参照フレームに回転される様子を示しています。C ' 軸と Y 軸はボックスのエッジの中点を指していますが、参照フレームの大きさは変更されていません (つまり、球は拡大または縮小していません)。これは、 K 1 テンソルのノルムが 1 であるためです: || K 1 || = 1。つまり、 ABC参照フレーム内の任意のベクトルは、 AYC' 参照フレームに回転されても、同じ大きさを持ち続けます 。
AYC' 単位基底ベクトル。C ' 軸と Y 軸はボックスの端を指していますが、大きさは変わっていません。
XYZ単位基底ベクトル 次に、次のテンソルは、ベクトルを新しい Y軸を中心に、 Y 軸に対して反時計回りに回転させます (角度は、 C' 軸がボックスの角を指すように選択されています)。
K
2
=
[
cos
(
θ
)
0
−
sin
(
θ
)
0
1
0
sin
(
θ
)
0
cos
(
θ
)
]
{\displaystyle K_{2}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&0&-\sin {\left(\theta \right)}\\0&1&0\\\sin {\left(\theta \right)}&0&\cos {\left(\theta \right)}\end{bmatrix}}}
θ
=
cos
−
1
(
2
3
)
→
35.26
∘
{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\to 35.26^{\circ }}
、 または
K
2
=
[
2
3
0
−
1
3
0
1
0
1
3
0
2
3
]
{\displaystyle K_{2}={\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {2}{3}}}&0&-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{bmatrix}}}
。 球の中心から箱の端の中点までの距離は √ 2 ですが、球の中心から箱の角までの距離は √ 3 であることに注目してください。これが 35.26° の角度の由来です。角度はドット積を使用して計算できます。を C' 方向の単位ベクトルとし 、 を の箱の角の方向の単位ベクトルと
します 。 と の 間の角度は
で ある
ため、
m
→
=
(
0
,
2
2
,
2
2
)
{\displaystyle {\vec {m}}=\left(0,{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}
n
→
=
(
1
3
,
1
3
,
1
3
)
{\displaystyle {\vec {n}}=\left({\frac {1}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}
n
→
=
(
1
,
1
,
1
)
{\displaystyle {\vec {n}}=\left(1,1,1\right)}
m
→
⋅
n
→
=
|
m
→
|
|
n
→
|
cos
θ
,
{\displaystyle {\vec {m}}\cdot {\vec {n}}=|{\vec {m}}||{\vec {n}}|\cos \theta ,}
θ
{\displaystyle \theta }
m
→
{\displaystyle {\vec {m}}}
n
→
,
{\displaystyle {\vec {n}},}
(
0
,
2
2
,
2
2
)
⋅
(
1
3
,
1
3
,
1
3
)
=
cos
θ
{\displaystyle \left(0,{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)=\cos \theta }
cos
θ
=
0
+
2
2
3
+
2
2
3
=
2
3
{\displaystyle \cos \theta =0+{\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {3}}}}+{\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}}
θ
=
cos
−
1
(
2
3
)
{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)}
θ
=
35.26
∘
.
{\displaystyle \theta =35.26^{\circ }.}
K 2 行列のノルム も 1 なので、 K 2 行列に事前に乗算されたベクトルの大きさも変化しません。
XYZ 単位基底ベクトル。Z 軸 (回転した C ' 軸) はボックスの角を指すようになりました。
ゼロプレーン この時点で、 Z 軸は、コモン モード コンポーネントのない ABC ベクトルが存在する平面に対して直交します。バランスの取れた ABC ベクトル波形 (コモン モードのないベクトル) は、この平面を周回します。この平面はゼロ平面と呼ばれ、以下に六角形のアウトラインで示されています。
六角形のアウトラインで示される共通モードのないベクトルの平面。Z 軸はこの平面に直交し、 X軸は A軸の ゼロ 平面への 投影に平行です。 X および Y基底ベクトル は ゼロ平面上にあります。X 軸は、A 軸のゼロ平面への投影と平行であることに注意してください 。X 軸 は 、 A 軸のゼロ平面への投影よりもわずかに大きく、 √ 3/2 倍大きくなります。任意のベクトルは、この ABC 参照フレームから XYZ 参照フレームへの変換によって大きさが変わることはありません (つまり、球のサイズは変わりません)。これは、クラーク変換のべき乗不変形式に当てはまります。次の図は、ABC 参照 フレーム と XYZ 参照 フレーム の 一般的な 2 次元の視点を示しています 。
ABC および XYZ 参照フレームの 2 次元の視点 。 ベクトルの大きさは変わらないのに、その成分の大きさが変わる（つまり、 X および Y成分が A 、 B 、 C 成分よりも長くなる ）のは奇妙に思えるかもしれません。おそらく、これは、共通モードのないベクトルの場合、表現するのに 3 つの値（ A 、 B 、 C成分）が必要だったものが、 Z 成分がゼロであるため、 2 つの値（ X および Y 成分）のみで済むと考えると直感的に理解できるでしょう 。したがって、補正するには X および Y 成分の値を大きくする必要があります。
テンソルの組み合わせ べき不変クラーク変換行列は、 K 1 テンソルと K 2 テンソルの組み合わせです。
K
C
=
[
2
3
0
−
1
3
0
1
0
1
3
0
2
3
]
⏟
K
2
⋅
[
1
0
0
0
1
2
−
1
2
0
1
2
1
2
]
⏟
K
1
{\displaystyle K_{C}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {2}{3}}}&0&-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{bmatrix}} _{K_{2}}\cdot \underbrace {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}} _{K_{1}}}
、 または
K
C
=
2
3
⋅
[
1
−
1
2
−
1
2
0
3
2
−
3
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle K_{C}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
→
[
2
6
−
1
6
−
1
6
0
1
2
−
1
2
1
3
1
3
1
3
]
{\displaystyle \to {\begin{bmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}}
。 乗算すると、 K C 行列の一番下の行は 1/ √ 3 であり、 1/3 ではないことに注意してください。 (Edith Clarke は、べき乗変形のケースでは 1/3 を使用しました。) Zコンポーネントは、 A 、 B 、および C コンポーネントの平均とまったく同じではありません。 一番下の行の要素のみが 1/3 に変更された場合、球は Z 軸に沿って押しつぶされます 。 つまり、 Zコンポーネントは、 X および Y コンポーネントと同じスケーリングを持たないことになります 。
K C フレーム (青) と元の Edith マトリックス (緑)。 上に書いたように、クラーク変換行列のノルムは依然として 1 です。つまり、 ABC ベクトルを回転させるだけで、拡大縮小は行いません。クラークの元の変換では同じことは言えません。
K C の逆関数が次の式で表される
ことは、（行列の乗算によって）簡単に検証できる。
K
C
−
1
=
[
2
6
0
1
3
−
1
6
1
2
1
3
−
1
6
−
1
2
1
3
]
{\displaystyle K_{C}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}}
クラーク変換行列をスケーリングして、 X軸が A 軸のゼロ平面への投影となるようにすることが望ましい場合があります 。これを行うには、ゼロ成分にスケーリング係数 √ 2/3 と 2 √ 1/radical [ なぜ? ] を一様に適用して、べき乗変クラーク変換行列を取得します。
K
C
^
=
2
3
⋅
2
3
⋅
[
1
−
1
2
−
1
2
0
3
2
−
3
2
1
2
1
2
1
2
]
⏟
K
C
{\displaystyle K_{\hat {C}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot \underbrace {{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} _{K_{C}}}
→
2
3
[
1
−
1
2
−
1
2
0
3
2
−
3
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle \to {\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
または
K
C
^
=
[
2
3
−
1
3
−
1
3
0
1
3
−
1
3
1
3
1
3
1
3
]
{\displaystyle K_{\hat {C}}={\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {3}}}&-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{bmatrix}}}
。 これにより、球体は必然的に√ 2/3 倍に縮小されます (下図参照)。この新しい X軸は、まさに A 軸をゼロ平面に
投影したものになっていることに注意してください。
べき乗変分クラーク変換の スケールされた XYZ参照フレーム。 べき乗変分クラーク変換では、 XYZ基準フレームにおける任意のベクトルの大きさは ABC 基準フレームにおけるよりも小さくなります （変換のノルムは √2 /3 です）が、個々のベクトル成分の大きさは同じです（共通モードがない場合）。したがって、例として、
[
A
B
C
]
=
[
cos
(
ω
t
)
cos
(
ω
t
−
2
π
3
)
cos
(
ω
t
+
2
π
3
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\omega t\right)}\\\cos {\left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\\cos {\left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)}\end{bmatrix}}}
XYZ 基準フレームでは 、
[
X
Y
Z
]
=
[
cos
(
ω
t
)
cos
(
ω
t
−
π
2
)
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\omega t\right)}\\\cos {\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)}\\0\end{bmatrix}}}
、 元の成分と同じ大きさの成分を持つ新しいベクトル: 1. 多くの場合、これはべき乗変クラーク変換の有利な性質です。
DQZ変換は クラーク 変換を使用して ABC 参照ベクトルを2つの差動モード成分（ X と Y ）と1つの共通モード成分（ Z ）に変換し、パーク変換を適用して参照フレームを Z軸 を 中心に所定の角度で回転させます。X成分は回転ベクトルと 直接一致する D 成分 になり 、 Y 成分は直接成分に対して 直交する Q 成分 になります。DQZ 変換
は
K
C
P
=
K
P
⋅
K
C
{\displaystyle K_{CP}=K_{P}\cdot K_{C}}
→
[
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
0
−
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
0
0
1
]
⋅
2
3
[
1
−
1
2
−
1
2
0
3
2
−
3
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle \to {\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
例 電気システムでは、 A 、 B 、 C の値が振動して、ネット ベクトルが回転することがよくあります。バランスの取れたシステムでは、ベクトルは Z軸を中心に回転します。多くの場合、この回転による ABC 値の変化の大部分が相殺され、より細かい変化がより明確になるように、参照フレームを回転すると役立ちます。これにより、システムが 線形時間不変システム に変換されるため、非常に便利です 。
DQZ変換は 、 幾何学的には、3 つの個別の正弦波位相量を、正弦波位相量と同じ角速度で回転する 2 つの軸に投影するものと考えることができます。
DQZの例。 上記は、 同期機の固定子に適用された DQZ 変換です。120 物理的角度で分離された 3 つの巻線があります。3 つの相電流は大きさが等しく、互いに 120 電気的角度で分離されています。3 つの相電流は、対応する相電圧より だけ遅れています。DQ軸 は 、相電圧および相電流と同じ角速度 に等しい角速度で回転しています。D 軸は 、 基準として選択された相 A 巻線と角度を成します 。電流 およびは 一定の直流量です。
δ
{\displaystyle \delta }
ω
{\displaystyle \omega }
θ
=
ω
t
{\displaystyle \theta =\omega t}
I
D
{\displaystyle I_{D}}
I
Q
{\displaystyle I_{Q}}
パークが最初に提案した変換は、上記のものとは少し異なります。 [5] パークの変換では、q軸はd軸より進んでおり、qd0であり、角度 は位相aとd軸の間の角度で、以下のように表されます。 [6] [7]
θ
{\displaystyle \theta }
P
=
2
3
[
cos
(
θ
)
cos
(
θ
−
2
π
3
)
cos
(
θ
+
2
π
3
)
−
sin
(
θ
)
−
sin
(
θ
−
2
π
3
)
−
sin
(
θ
+
2
π
3
)
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&\cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\-\sin(\theta )&-\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
そして
P
−
1
=
[
cos
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
1
cos
(
θ
−
2
π
3
)
−
sin
(
θ
−
2
π
3
)
1
cos
(
θ
+
2
π
3
)
−
sin
(
θ
+
2
π
3
)
1
]
{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&1\\\cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&1\\\cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})&1\end{bmatrix}}}
dq0 変換は概念的にはαβγ 変換 に似ています 。dq0 変換は回転する 2 軸参照フレームへの位相量の投影ですが、αβγ 変換は静止した 2 軸参照フレームへの位相量の投影と考えることができます。
参考文献 インライン参照
^ 「3相（abc）信号からdq0回転参照フレームまたはその逆への変換を実行します」 。Simulink 。2018年9月27日。 2019年1月11日 閲覧 。 ^ Mihailovic, Zoran (1998-06-26). 「アクティブ負荷を備えた Vsi-Fed Pmsm 駆動システムのモデリングと制御設計」 (PDF) . ETDs . 2019-01-11 に取得 。 ^ Kamalakannan, C.; Suresh, LP; Dash, SS; Panigrahi, BK (2014). パワーエレクトロニクスと再生可能エネルギーシステム: ICPERES 2014 議事録。電気工学の講義ノート。Springer India。p. 1029。ISBN 978-81-322-2119-7 . 2019年1月11日 閲覧 。 ^ RH Park 同期機の2つの反応理論 AIEE Transactions 48:716–730 (1929)。 ^ RH Park、「同期機の2反応理論、一般化された解析法 - パートI」、米国電気学会誌、第48巻、第3号、716-727ページ、1929年7月、doi: 10.1109/T-AIEE.1929.5055275。 ^ D. Holmes および T. Lipo、「電力コンバータのパルス幅変調: 原理と実践」、Wiley-IEEE Press、2003 年。 ^ P. Krause、O. Wasynczuk、S. Sudhoff、「電気機械および駆動システムの分析」、第 2 版、Piscataway、NJ: IEEE Press、2002 年。
一般的な参考文献
CJ O'Rourke 他「参照フレームと変換の幾何学的解釈: dq0、Clarke、および Park」、IEEE Transactions on Energy Conversion、vol. 34、no. 4、pp. 2070-2083、2019 年 12 月。 J. Lewis Blackburn 『Symmetrical Components for Power Systems Engineering』 、Marcel Dekker、ニューヨーク (1993)、 ISBN 0-8247-8767-6 。 Zhang 他 「空間ベクトル変調による中性点レグ付き 3 相インバータ」 IEEE APEC '97 会議論文集 (1997)。 TALipo、「AC マシンの参照理論に対する直交ベクトルアプローチ」、国際電気機械会議、ローザンヌ、1984 年 9 月 18 ～ 24 日。
参照 
