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平行座標プロットは、複数の変数または属性を持つ多変量データを分析するために、高次元データセットを視覚化する一般的な方法です。
n次元空間内の点の集合をプロットまたは可視化するには、座標軸を表すn本の平行線が背景上に描画されます。これらの平行線は通常、等間隔で垂直方向に配置されます。n次元空間内の点は、 n次元点の各座標エントリに対応するn個の頂点を持つ個別のポリラインとして表現され、頂点はn - 1本のポリラインセグメントで接続されます。
このデータ可視化は時系列可視化と似ていますが、平行座標が時系列データとは一致しないデータに適用される点が異なります。そのため、軸を水平方向に反転させたり、属性範囲を反転させたりするなど、さまざまな軸配置が考えられます。
平行座標の概念は、1885 年にフランスの数学者フィルベール・モーリス・ドカーニュによって考案されたとよく言われています。[ 1 ]ドカーニュは、異なるスケールの平行軸を使用するノモグラムと呼ばれる配置図を使用して、数学関数のグラフ計算を提供する方法を模索しました。たとえば、3 変数方程式は、3 つの平行軸を使用して解くことができ、それぞれのスケールに既知の値をマークし、それらの間に線を引いて、線がそのスケールと交差する点のスケールから未知の値を読み取ることができます。
データを表示するための視覚化手法として平行座標を使用する方法は、1890年の国勢調査のための米国統計地図帳に先立つヘンリー・ギャネットの著作に由来するとよく言われています。例えば、彼の「1880年の比率による州の順位を示す概要」 [ 2 ] では、各州について線で結ばれた平行軸上に10の指標（人口、職業、富、製造業、農業など）の順位を示しています。
しかし、ドカーニュとガネの両方とも、この点ではアンドレ＝ミシェル・ゲリー[ 3 ]がはるか以前に、図版IV「年齢の影響」で、年齢別に人に対する犯罪の順位を示し、同じ犯罪を年齢層を超えて結びつけていた[ 4 ] 。
平行座標は、87年後の1985年にアルフレッド・インゼルベルク[ 5 ]によって再び普及し、1977年から座標系として体系的に開発されました。重要な応用例としては、航空交通管制の衝突回避アルゴリズム（1987年 - 米国特許3件）、データマイニング（米国特許）、コンピュータビジョン（米国特許）、最適化、プロセス制御、最近では侵入検知などがあります。
XY直交座標系を持つ平面上で、平行座標（しばしば||座標、PCP、またはPCと略される）に次元を追加するには、軸を追加する必要があります。平行座標の利点は、高次元における特定の幾何学的特性が、容易に視覚化できる2次元パターンに変換されることです。たとえば、 n次元空間における直線上の点の集合は、平行座標ではn - 1点で交差するポリラインの集合に変換されます。n=2の場合、これは点と直線の双対性を示し、平行座標の数学的基礎がユークリッド空間ではなく射影空間で開発されている理由を示しています。2本の直線は、2つの座標を持つ一意の点で交差するため、2つのパラメータ（または2つの点）で指定される一意の直線に対応できます。対照的に、曲線を指定するには2点以上が必要であり、また、2本の曲線が一意の交点を持つとは限りません。したがって、平行座標で直線の代わりに曲線を使用すると、点と線の双対性は、射影幾何学の他のすべての特性、および（超）平面、曲線、いくつかの滑らかな（超）曲面、近接性、凸性、最近では非方向付け可能性に対応する既知の美しい高次元パターンとともに失われます。[ 6 ]目標は、n 次元の関係を 2D パターンにマッピングすることです。したがって、平行座標は点から点へのマッピングではなく、n D サブセットから 2D サブセットへのマッピングであり、情報の損失はありません。注: nD の点でさえ、2D の点ではなく、2D のサブセットである多角形の線にマッピングされます。
統計データの視覚化に使用する場合、軸の順序、回転、およびスケールという3つの重要な考慮事項があります。
軸の順序は特徴を見つける上で非常に重要であり、典型的なデータ分析では多くの並べ替えを試す必要がある。一部の著者は、有益な順序付けを生み出す可能性のある順序付けヒューリスティックを考案している。[ 7 ]
軸の回転は平行座標における平行移動であり、平行軸の外側で線が交差している場合は、回転によってそれらの間で平行移動することができます。最も簡単な例は、軸を180度回転させることです。[ 8 ]
プロットは連続する変数ペアの補間（線形結合）に基づいているため、スケーリングが必要です。[ 8 ]したがって、変数は共通のスケールである必要があり、より多くの情報を示すことができるデータ準備プロセスの一部として検討すべきスケーリング方法がたくさんあります。
スプラインを使用すると、滑らかな平行座標プロットが実現されます。[ 9 ]滑らかなプロットでは、すべての観測値がパラメトリック線（または曲線）にマッピングされ、これは滑らかで、軸上で連続しており、各平行軸に直交します。この設計は、各データ属性の量子化レベルを強調します。[ 8 ]
インゼルベルク（Inselberg 1997）は、平行座標の関係パターンを視覚的に読み取る方法について包括的なレビューを行いました。[ 10 ] 2 つの平行軸間のほとんどの線が互いにほぼ平行である場合、この 2 つの次元間に正の関係があることを示唆しています。線が X 字型の重ね合わせのような形で交差する場合、負の関係です。線がランダムに交差したり平行になったりする場合は、特別な関係がないことを示しています。
平行座標では、各軸は最大で2つの隣接する軸（左側に1つ、右側に1つ）を持つことができます。n次元データセットの場合、アプローチを変更せずに一度に表示できる関係は最大でn -1個です。時系列可視化では、自然な前任者と後任者が存在するため、この特殊なケースでは好ましい配置が存在します。しかし、軸に一意の順序がない場合、適切な軸配置を見つけるには、実験と特徴量エンジニアリングを使用する必要があります。より多くの関係を探索するために、軸の順序を変更したり、構造を再構築したりすることができます。
一つのアプローチでは、軸を 3 次元空間に配置します (平行に配置され、格子グラフを形成します)。軸は中心属性の周りの円内に 2 つ以上の隣接を持つことができ、配置の問題は最小全域木を使用することで改善できます。[ 11 ]この視覚化のプロトタイプは、データマイニングソフトウェアELKIの拡張機能として利用可能です。ただし、この視覚化は線形順序よりも解釈や操作が困難です。
並列座標に関する論文は多数ありますが、データベースを並列座標グラフィックに変換できる公開されている注目すべきソフトウェアはごくわずかです。[ 12 ]注目すべきソフトウェアとしては、 ELKI、GGobi、Mondrian、ROOTなどがあります。ライブラリとしては、 Protovis.js、D3.jsがあり、基本的な例を提供しています。並列座標グラフィックの作成に特化したD3.Parcoords.js（D3ベースのライブラリ）も公開されています。Pythonのデータ構造と分析ライブラリであるPandasは、プロットライブラリmatplotlibを使用して並列座標のプロットを実装しています。[ 13 ]