充填密度

ある空間における物体の充填密度または充填率とは、その空間を構成する物体が占める割合のことです。簡単に言えば、空間内の物体の体積と空間自体の体積の比です。充填問題では、通常、可能な限り高い密度の充填を実現することが目的となります。

もし$\displaystyle K_{1},\dots ,K_{n}}$コンパクト測度空間の可測部分集合である${\displaystyle X}$ そしてそれらの内部がペアごとに交差しない場合、コレクション${\displaystyle [K_{i}]}$梱包は${\displaystyle X}$そしてその充填密度は $${\displaystyle \eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}.}$$

詰め込まれる空間がユークリッド空間のように無限である場合、密度は半径がどんどん大きくなる球体で示される密度の極限として定義するのが一般的です。${\displaystyle B_{t}}$半径のボール${\displaystyle t}$原点を中心とすると、充填密度は${\displaystyle [K_{i}:i\in \mathbb {N} ]}$は $${\displaystyle \eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}.}$$ この限界は常に存在するとは限らないため、上密度と下密度をそれぞれ上記の上限と下限として定義することも有用です。密度が存在する場合、上密度と下密度は等しくなります。ユークリッド空間の任意の球が充填の有限個の要素のみと交差し、要素の直径が上から制限されている場合、（上、下）密度は原点の選択に依存せず、${\displaystyle \mu (K_{i}\cap B_{t})}$に置き換えることができます${\displaystyle \mu (K_{i})}$交差するすべての要素について${\displaystyle B_{t}}$[ ^{1 ]} 球は他の凸体の拡大によって置き換えることもできますが、一般に結果として得られる密度は等しくありません^。

特定の供給集合の要素のみを使用するように制限された充填に興味を持つ場合が多い。たとえば、供給集合は、与えられた半径のすべての球の集合である。供給集合に関連付けられた最適な充填密度または充填定数は、供給集合の部分集合である充填によって得られる上限密度の上限である。供給集合が有限直径の凸体で構成されている場合、充填密度が充填定数に等しい充填が存在し、この充填定数は、密度の定義における球を他の凸体の膨張に置き換えても変化しない。^{[ 1 ]}

特に注目すべき供給集合は、固定された凸体のすべてのユークリッド運動である。${\displaystyle K}$この場合、充填定数を充填定数と呼びます。${\displaystyle K}$ケプラー予想は、3球の充填定数に関するものです。ウラムの充填予想は、3球が凸立体の中で最も低い充填定数を持つと述べています。固定された物体のすべての並進もまた、共通の供給集合であり、その物体の並進充填定数を定義します。

• 原子充填率
• 球体充填
• 充填定数が既知の形状のリスト

• ワイススタイン、エリック W. 「充填密度」 . MathWorld .