PDE制約付き最適化

以下の例はピアソンの20-21ページからのものです。^{[ 3 ]}走化性とは、外部の化学刺激に対する生物の移動のことです。特に興味深い問題の一つは、走化性を示す細菌の空間ダイナミクスを制御して、望ましい結果を得ることです。細胞密度の場合${\displaystyle z(t,{\bf {x}})}$濃度密度${\displaystyle c(t,{\bf {x}})}$化学誘引物質の場合、境界制御問題を定式化することが可能です。$$\min_{z,c,u}\;{1 \over {2}}\int_{\Omega}\left[z(T,{\bf {x}})-{\widehat {z}}\right]^{2}+{\gamma_{c} \over {2}}\int_{\Omega}\left[c(T,{\bf {x}})-{\widehat {c}}\right]^{2}+{\gamma_{u} \over {2}}\int_{0}^{T}\int_{\partial \Omega}u^{2}}$$どこ${\displaystyle {\ワイドハット {z}}}$理想的な細胞密度は、${\displaystyle {\widehat {c}}}$は理想的な濃度密度であり、${\displaystyle u}$は制御変数です。この目的関数は、以下の動特性に従います。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial z \over {\partial t}}-D_{z}\Delta z-\alpha \nabla \cdot \left[{\nabla c \over {(1+c)^{2}}}z\right]&=0\quad {\text{in}}\quad \Omega \\{\partial c \over {\partial t}}-\Delta c+\rho cw{z^{2} \over {1+z^{2}}}&=0\quad {\text{in}}\quad \Omega \\{\partial z \over {\partial n}}&=0\quad {\text{on}}\quad \partial \Omega \\{\partial c \over {\partial n}}+\zeta (cu)&=0\quad {\text{on}}\quad \partial \Omega \end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle \Delta }$はラプラス演算子です。