開放回路時定数法

開回路時定数 (OCT) 法は、電子回路設計で複雑な回路のコーナー周波数を決定するために使用される近似解析手法です。これは、リアクタンス素子がコンデンサのみで構成される場合のゼロ値時定数 (ZVT) 法の特殊なケースです。ゼロ値時定数 (ZVT) 法自体は、一般的な時間定数および伝達定数 (TTC) 解析の特殊なケースであり、時定数と伝達定数を使用して、リアクタンス素子としてインダクタとコンデンサの両方を含む集中 LTI システムのゼロと極を完全に評価できます。OCT 法は、迅速な評価を提供し、回路改善のガイドとして時定数への最大の寄与を特定します。

この方法の基礎は、増幅器のコーナー周波数は、周波数に対して線形である伝達関数の分母の項によって決定されるという近似です。この近似は、分子のゼロが周波数に近い場合に非常に不正確になる可能性があります。 ^[1]すべての極が実数でゼロがない場合、この近似は常に保守的であり、ゼロ値の時定数の合計の逆数は回路の実際のコーナー周波数よりも小さくなります。^[2]

この方法では、回路内の各コンデンサの RC 積の合計に基づいて周波数の線形項を見つけるための簡略化された方法も使用します。ここで、選択されたコンデンサの抵抗 R は、その場所にテスト ソースを挿入し、他のすべてのコンデンサをゼロに設定することによって検出された抵抗です。そのため、ゼロ値時定数手法と呼ばれます。

図1は、単純なRCローパスフィルタを示しています。その伝達関数は、キルヒホッフの電流法則を使用して次のように求められます。出力では、

${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{O}}{R_{2}}}=j\オメガ C_{2}V_{O}\ ,}$

ここで、V _{1 はコンデンサ}C ₁の上部の電圧です。中央ノードでは次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V_{S}-V_{1}}{R_{1}}}=j\オメガ C_{1}V_{1}+{\frac {V_{1}-V_{O} }{R_{2}}}\ .}$

これらの関係を組み合わせると、伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V_{O}}{V_{S}}}={\frac {1}{1+j\omega \left(C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\right)+(j\omega )^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}$

この伝達関数のj ωの線形項は、この例に開回路時定数法を適用した次の方法で導出できます。

1. 信号ソースをゼロに設定します。
2. コンデンサC ₂を選択し、それをテスト電圧V _Xに置き換え、C _{1 を}オープン回路に置き換えます。次に、テスト電圧で見られる抵抗を図 1 の中央パネルの回路を使用して求めます。これは単純にV _X / I _X = R ₁ + R ₂です。積C ₂ ( R ₁ + R ₂ ) を形成します。
3. コンデンサC _{1 を}選択し、それをテスト電圧V _Xに置き換え、C _{2 を}オープン回路に置き換えます。次に、図 1 の右側のパネルの回路を使用して、テスト電圧で見られる抵抗を求めます。これは、単にV _X / I _X = R ₁です。積C ₁ R ₁を形成します。
4. これらの用語を追加します。

実際には、他のコンデンサが開回路になっているときに、各コンデンサが回路内の抵抗を介して充電および放電するのと同じです。

開回路時定数手順は、RCネットワークがどれだけ複雑になっても、jωの線形項を提供します。これはもともと、ThorntonとSearleによってアドミタンス行列の余因子を計算することによって開発され、証明されました。 ^[3]これ（およびTTCの他の特性）のより直感的な帰納的証明は、後にHajimiriによって開発されました。^[4]

複雑な回路の場合、手順は上記の規則に従い、回路内のすべてのコンデンサを調べることになります。より一般的な導出は、GrayとMeyerの論文で説明されています。^[5]

これまでの結果は一般的なものですが、この結果を利用するために近似が導入されています。つまり、 jωのこの線形項が回路のコーナー周波数を決定する という仮定が立てられています。

この仮定は、図 1 の例を使用してさらに詳しく調べることができます。この回路の時定数が τ ₁と τ ₂であると仮定すると、次のようになります。

${\displaystyle \left(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2}\right)=1+j\omega \left(C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\right)+(j\omega )^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}$

jωの線形項と二次項の係数を比較すると、次のようになります。

${\displaystyle \tau _{1}+\tau _{2}=C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\ ,}$

${\displaystyle \tau _{1}\tau _{2}=C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}\ .}$

2 つの時間定数のうち 1 つが最も長くなります。これを τ ₁とします。現時点では、これがもう 1 つよりもはるかに大きいと仮定します ( τ ₁ >> τ _{2 )}。この場合、近似は次のようになります。

${\displaystyle \tau _{1}+\tau _{2}\approx \tau _{1}\ ,}$

そして

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\おおよそ {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\タウ _{1}+\タウ _{2}}}\ .}$

つまり、RC 値を代入すると次のようになります。

${\displaystyle \tau _{1}\approx {\hat {\tau _{1}}}=\ \tau _{1}+\tau _{2}=C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\ ,}$

そして

${\displaystyle \tau _{2}\about {\hat {\tau _{2}}}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\タウ _{2}}}={\frac {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}{C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}}}\ ,}$

ここで、(^)は近似値です。余談ですが、回路の時定数は両方のコンデンサに関係しています。言い換えれば、一般に回路の時定数は単一のコンデンサによって決まるわけではありません。これらの結果を使用すると、コーナー周波数（3dB周波数）が次のように与えられるかどうかを調べるのは簡単です。

${\displaystyle f_{3dB}={\frac {1}{2\pi {\hat {\tau _{1}}}}}\ ,}$

パラメータが変化すると、正確な伝達関数は近似値と比較することができます。

${\displaystyle {\frac {1}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}}\ }$ ${\displaystyle \}$   と   ${\displaystyle \}$ ${\displaystyle \ {\frac {1}{(1+j\omega {\hat {\tau _{1}}})(1+j\omega {\hat {\tau _{2}}})} }\ .}$

もちろん、τ ₁ >> τ ₂という仮定が正確であれば、一致は良好です。

図 2 は近似値を示しています。x 軸は、対数スケールの τ ₁ / τ _{2 の}比率です。この変数が増加すると、より高い極がコーナー周波数よりさらに高いことを意味します。y 軸は、OCTC (開回路時定数) 推定値と実際の時定数の比率です。最低の極には曲線 T_1 を使用します。この曲線はコーナー周波数を示します。より高い極には曲線 T_2 を使用します。τ ₁ = τ ₂の場合が最も一致が悪くなります。この場合、τ ^{^} ₁ = 2 τ ₁であり、コーナー周波数は 2 倍小さすぎます。より高い極は 2 倍高すぎます (その時定数は実際の値の半分です)。

いずれの場合も、推定コーナー周波数は実際の周波数から 2 倍以内に近く、常に保守的、つまり実際のコーナー周波数よりも低いため、実際の回路は予測よりも良好な動作をします。ただし、より高い極は常に楽観的であり、実際よりも高い周波数で高い極を予測します。2 つの極周波数の比率に依存するステップ応答予測にこれらの推定値を使用するには (例については極分割に関する記事を参照)、図 2 は、精度を上げるために τ ₁ / τ ₂のかなり大きな比率が必要であることを示しています。これは、 τ ^{^} ₁と τ ^{^} ₂の誤差がτ ^{^} ₁ / τ ^{^} ₂の比率で互いに強め合うためです。

開回路時定数法はコーナー周波数のみに焦点を当てていますが、上記のように、より高い極の推定も可能です。

オープン回路時定数法を多数の単一トランジスタ増幅段に適用した例は、PittetとKandaswamyの論文^{[6]に見られる。}