奇数定理

奇数定理は、微分位相幾何学から直接導かれる強い重力レンズ効果の定理です。

この定理は、境界のある透明レンズによって生成される多重像の数は奇数でなければならないことを述べています。

重力レンズ効果は、次の式に従って、 像面と呼ばれるものからソース面へマッピングされると考えられています。

${\displaystyle M:(u,v)\mapsto (u',v')}$。

曲がった光線を記述する方向余弦を使用すると、平面上にベクトル場を書くことができます。 ${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle V:(s,w)}$

しかし、特定の方向でのみ、曲がった光線が観測者に到達します。つまり、像は の場所でのみ形成されます。その場合、ポアンカレ・ホップの定理を直接適用できます。 ${\displaystyle V_{0}:(s_{0},w_{0})}$${\displaystyle D=\delta V=0|_{(s_{0},w_{0})}}$ ${\displaystyle \chi =\sum {\text{index}}_{D}={\text{constant}}}$

ソースとシンクのインデックスは +1 で、鞍点のインデックスは -1 です。したがって、オイラー特性は正のインデックスの数と負のインデックスの数の差に等しくなります。遠方場の場合、像は 1 つだけ、つまり です。したがって、像の総数は、つまり奇数です。厳密な証明には、ウーレンベックのヌル測地線のモース理論 が必要です。 ${\displaystyle n_{+}}$${\displaystyle n_{-}}$${\displaystyle \chi =n_{+}-n_{-}=1}$${\displaystyle N=n_{+}+n_{-}=2n_{-}+1}$

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