ニブンの定理

数学において、イヴァン・ニヴェンにちなんで名付けられたニヴェンの定理は、 0 ° ≤ θ ≤ 90°の区間において、 θ度の正弦も有理数となるθの有理値は次の通りであると述べている。^{[ 1 ]} 

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}$

ラジアンでは、 0 ≤ x ≤ π /2、x / πが有理数、sin( x )が有理数であることが求められます。結論として、そのような値はsin(0) = 0、sin( π /6) = 1/2、sin( π /2) = 1 のみです。

この定理は、ニーブンの無理数に関する著書の系3.12として記載されている。^{[ 2 ]}

この定理は他の三角関数にも適用されます。^{[ 2 ]} θが有理数の場合、正弦または余弦の有理数 (つまり、有理三角関数) は0、± 1/2、および± 1のみです。正割または余割の有理数は± 1および± 2のみです。正接または余接の有理数は 0および± 1のみです。^{[ 3 ]}

ニブンの定理の証明は、彼の著書『無理数』に掲載されている。それ以前に、この定理はDH レーマーとJMH オルムステッドによって証明されていた。^{[ 2 ]} レーマーは1933年の論文で、より一般的な結果を証明することによって、コサインの定理を証明した。すなわち、レーマーは、互いに素な整数kとn ( n > 2 )に対して、数2 cos(2 π k / n )は次数φ ( n )/2の代数的数であることを示した。ここで、φはオイラーのトーシェント関数を表す。有理数は次数が 1 であるため、n ≤ 2またはφ ( n ) = 2でなければならず、したがって、可能性はn = 1,2,3,4,6のみである。次に、彼は三角関数の恒等式sin( θ ) = cos( θ − π /2)を使用して、サインに対応する結果を証明した。^{[ 4 ]} 1956年に、ニブンはレーマーの結果を他の三角関数に拡張した。^{[ 2 ]} その後、他の数学者たちが新たな証明を与えた。^{[ 3 ]}

• ピタゴラスの三つ組は直角三角形を形成し、その三角形の三角関数は常に有理数の値をとりますが、鋭角は有理数ではありません。

• Olmsted, JMH (1945 ) . 「三角関数の有理値」。アメリカ数学月報。52 ( 9): 507–508。doi : 10.2307 / 2304540。JSTOR 2304540。 
• Jahnel, Jörg (2010). 「有理角の（コ）サインが有理数に等しくなるのはいつか？」. arXiv : 1006.2938 [ math.HO ].

• ワイスタイン、エリック・W. 「ニーブンの定理」。マスワールド。