シュタインハウス・モーザー記法

数学において、シュタインハウス・モーザー記法は、特定の大きな数を表現するための記法である。これは、ヒューゴ・シュタインハウスの多角形記法の拡張（レオ・モーザーによって考案）である。 ^[1]

三角形の中の数字n はn ^{n を}意味します。

正方形内の数n は、「すべて入れ子になっているn個の三角形内の数n 」と同等です。

五角形内の数n は、「すべて入れ子になっているn個の正方形内の数n 」と同等です。

等: ( m + 1 ) 辺の多角形に書かれたn は、「n個の入れ子になったm辺の多角形の内側の数n 」に相当します。入れ子になった多角形のシリーズでは、それらは内側に関連付けられます。2 つの三角形の内側の数n は、1 つの三角形の内側の数n ⁿに相当し、これはn ⁿのn ⁿ乗に相当します。

シュタインハウスは三角形、正方形、円のみを定義した これは上で定義した五角形と同等です。

シュタインハウスは次のように定義しました。

• メガは円内の2に相当する数です：②
• メギストンは円内の10に相当する数です: ⑩

モーザー数は、「メガゴンの 2」で表される数です。メガゴンは、ここで「メガ」辺を持つ多角形の名前です ( 100 万辺の多角形と混同しないでください)。

代替表記:

• square(x) と triangle(x) 関数を使用する
• m個のネストされたp辺の多角形内の数nで表される数をM ( n , m , p )とすると、規則は次のようになります。
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• そして
  • メガ = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • メギストン = ${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • モーザー = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

メガ ② は、すでに非常に大きな数です。なぜなら、 ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2 ² )) = square(triangle(4)) = square(4 ⁴ ) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 個の三角形] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256 256 ⁾ ...))) [255 個の三角形] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 個の三角形] ...

他の表記法を使用する場合:

メガ =${\displaystyle M(2,1,5)=M(256,256,3)}$

関数では、mega = となります。ここで、上付き文字は数値の累乗ではなく、関数の累乗を表します。 ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$

次式が得られます (べき乗は右から左に評価されるという規則に注意してください)。

• ${\displaystyle M(256,2,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

同様に:

• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,5,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,6,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

等

したがって：

• mega = 、ここで は関数 の関数べき乗を表します。${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$${\displaystyle f(n)=256^{n}}$

もっと粗く丸めると（末尾の 257 を 256 に置き換える）、Knuth の上矢印表記法を使用して、 mega ≈ になります。 ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$

最初の数ステップを過ぎると、 の値は毎回 にほぼ等しくなります。実際、 は にほぼ等しくなります(非常に大きな数 の近似演算も参照)。10 を底とする累乗を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle n^{n}}$${\displaystyle 256^{n}}$${\displaystyle 10^{n}}$

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$（616に追加されます）${\displaystyle \log_{10}616}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$(は に追加されますが、これは無視できるほど小さいため、下部に 10 が追加されるだけです)${\displaystyle 619}$${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• メガ = 、ここで は関数 のべき乗を表します。したがって${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}}10\uparrow \uparrow 258}$

コンウェイ連鎖矢印記法では、

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

そして、クヌースの上矢印記法では、

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ ただし }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

したがって、モーザー数は理解できないほど大きいが、グラハム数と比較すると無視できるほど小さい。^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{グラハム数}}.}$

• アッカーマン関数

• ロバート・ムナフォの大きな数字
• 大きな数字に関する豆知識
• Megistron at mathworld.wolfram.com (Steinhaus はこの数を「r」なしの「megiston」と呼んでいました。)
• mathworld.wolfram.com の円表記
• シュタインハウス・モーザー記法 - 無意味な大きな数