モランのI

統計学において、モランのIは、パトリック・アルフレッド・ピアース・モランによって開発された空間的自己相関の尺度です。^{[1] [2]}空間的自己相関は、空間内の近くの場所間の信号の相関によって特徴付けられます。空間的自己相関は多次元（つまり、空間の2次元または3次元）かつ多方向であるため、空間的 自己相関は1次元の自己相関よりも複雑です。

グローバル・モランIは空間データの全体的なクラスタリングの尺度であり、次のように定義される。

${\displaystyle I={\frac {N}{W}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

どこ

• ${\displaystyle N}$は、およびによってインデックス付けされた空間単位の数です。${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle x}$関心のある変数です。
• ${\displaystyle {\bar {x}}}$は の平均です。${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle w_{ij}}$対角線上にゼロを持つ空間重み行列の要素である（すなわち、）。${\displaystyle w_{ii}=0}$
• そして、すべて（すなわち）の合計です。${\displaystyle W}$${\displaystyle w_{ij}}$${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{w_{ij}}}$

の値は、空間重み行列 に組み込まれた仮定にかなり依存する可能性があります。 行列が必要なのは、空間的自己相関に対処し、空間相互作用をモデル化するために、考慮する近傍の数を制限する構造を課す必要があるためです。 これは、すべてのものは他のすべてのものに依存しますが、より近いものはさらに依存するという、トブラーの地理学の第一法則 に関連しています。言い換えると、この法則は空間距離減衰関数を意味し、すべての観測値が他のすべての観測値に影響を与えているとしても、ある距離しきい値を超えると、その影響は無視できるようになります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle w_{ij}}$

目的は、問題となっている特定の空間現象についての仮定を正確に反映するマトリックスを構築することです。一般的なアプローチは、2 つのゾーンが隣接している場合は重みを 1 にし、そうでない場合は重みを 0 にすることですが、「隣接」の定義は異なる場合があります。もう 1 つの一般的なアプローチは、最も近い隣接ゾーンに重みを 1 にし、そうでない場合は重みを 0 にすることです。別の方法としては、重みを割り当てるために距離減衰関数を使用することです。共有エッジの長さを使用して、隣接ゾーンに異なる重みを割り当てることがあります。空間重みマトリックスの選択は、問題となっている現象に関する理論に基づいて行う必要があります。の値は重みに非常に敏感であり、特に距離を使用する場合、現象についての結論に影響を与える可能性があります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$

空間的自己相関がないという帰無仮説の下での モランのIの期待値は

${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

この期待値に使用されるヌル分布は、入力がランダムに均一に選択された順列によって並べ替えられることです(そして、期待値は順列の選択を超えています)。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi}$

サンプル サイズが大きい場合 (つまり、N が無限大に近づく場合)、期待値はゼロに近づきます。

その分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}}$

どこ

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3W^{2}}$

${\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6W^{2}}$^[3]

-1/(N-1) より大幅に低い値は負の空間的自己相関を示し、-1/(N-1) より大幅に高い値は正の空間的自己相関を示します。統計的仮説検定では、Moran のI値をZ スコアに変換できます。

Iの値は～の範囲です^[4]。ここで、およびは重み行列の対応する最小および最大固有値です。行正規化行列の場合。 ${\displaystyle {\frac {N}{W}}w_{min}}$${\displaystyle {\frac {N}{W}}w_{max}}$ ${\displaystyle w_{min}}$${\displaystyle w_{max}}$${\displaystyle {\frac {N}{W}}=1}$

Moran のI はGeary のCと逆相関していますが、同一ではありません。Moran のI はグローバルな空間的自己相関の尺度ですが、Geary のC はローカルな空間的自己相関に対してより敏感です。

グローバル空間自己相関分析では、調査対象エリア全体を要約する統計が 1 つだけ生成されます。つまり、グローバル分析では均質性が前提となります。この前提が成り立たない場合、統計は空間によって異なるはずなので、統計が 1 つしかないことは意味がありません。

さらに、グローバルな自己相関やクラスタリングがない場合でも、ローカル空間自己相関分析を使用してローカル レベルでクラスタを見つけることができます。Moran's I が個々のクロス積の合計であるという事実は、「空間関連のローカル指標」(LISA) によって利用され、各空間単位のローカル Moran's Iを計算し、各I _iの統計的有意性を評価することで、個々の単位のクラスタリングを評価します。グローバル Moran's Iの式から、次の式が得られます。

${\displaystyle I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})}$

どこ：

${\displaystyle m_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}}$

それから、

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{\frac {I_{i}}{N}}}$

I はグローバル自己相関を測定するGlobal Moran's I、I _iはローカル、N はマップ上の分析単位の数です。

LISAは、1995年にLuc Anselinによって提案されたLocal Moran's I ^{[5] [6]を使用する}GeoDaとArcGIS Proで計算できます。^[7]

Moran's Iは地理学や地理情報科学の分野で広く使用されています。例としては次のようなものがあります。

• 健康変数の地理的差異の分析。^[8]
• 公共水中のリチウム濃度が精神衛生に与える影響の特徴づけ^[9]
• 方言学では、地域言語の変異の重要性を測定するために用いられる。^[10]
• 地形学的研究のための意味のある地形セグメンテーションのための目的関数の定義^[11]

• 現代地理学の概念と技術
• 距離減衰
• ギアリーのC
• 空間的関連性の指標
• 空間的異質性
• トブラーの地理学の第一法則
• ヴァルテンベルク係数