統計力学におけるモンテカルロ法

統計物理学におけるモンテカルロとは、統計物理学、または統計力学の問題にモンテカルロ法を適用することを指します。

統計物理学でモンテカルロ法を使用する一般的な動機は、多変数積分を評価することです。典型的な問題は、ハミルトニアンが既知で、与えられた温度にあり、ボルツマン統計に従うシステムから始まります。あるマクロ変数（たとえば A）の平均値を取得する一般的な方法は、位相空間（簡単に言えば PS ）全体にわたって、ボルツマン分布を使用して A の平均値を 計算することです。

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\ vec {r}}}$。

ここで、 は、 与えられた状態におけるシステムのエネルギーであり、 - すべての自由度を持つベクトル（たとえば、機械システムの場合、）、 および ${\displaystyle E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)}$${\displaystyle \beta \equiv 1/k_{b}T}$

${\displaystyle Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}}$

はパーティション関数です。

この多変数積分を解くための 1 つの方法は、システムのすべての可能な構成を正確に列挙し、平均を任意に計算することです。これは、正確に解けるシステムや、粒子の少ない単純なシステムのシミュレーションで行われます。一方、現実的なシステムでは、正確な列挙は実装が困難または不可能になることがあります。

これらのシステムでは、モンテカルロ積分（分子鎖のシミュレーションに使用されるモンテカルロ法と混同しないでください）が一般的に使用されます。モンテカルロ積分を使用する主な理由は、モンテカルロ積分では、積分の次元に関係なく、誤差が となるという事実です。モンテカルロ積分に関連するもう 1 つの重要な概念は、シミュレーションの計算時間を改善する手法で ある重要度サンプリングです。${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

次のセクションでは、この種の問題を解決するためのモンテカルロ積分の一般的な実装について説明します。

モンテカルロ積分による積分値の推定値は、

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z}$

は

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{- \beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

ここで、はすべての位相空間 (PS) から均一に取得され、N はサンプリング ポイント (または関数評価) の数です。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

位相空間全体から、一部の領域は一般に他の領域よりも変数の平均にとって重要です。特に、エネルギー スペクトルの残りの部分と比較して十分に高い値を持つ領域は、積分に最も関連しています。この事実を使用すると、当然次のような疑問が生じます。積分に関連があるとわかっている状態を、より頻繁に選択することは可能でしょうか。その答えは、重要度サンプリング手法を使用すれば、イエスです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}}$

積分に関連性が高いことがわかっている状態を選択する分布であると 仮定します。${\displaystyle p({\vec {r}})}$

の平均値は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1} ({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({ \vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}}$、

ここで、重要度確率を考慮したサンプル値である。この積分は次のように推定できる。 ${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i} )A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

ここで、分布を使用してランダムに生成されます。ほとんどの場合、与えられた分布で状態を生成する方法を見つけるのは簡単ではないため、メトロポリス アルゴリズムを使用する必要があります。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$${\displaystyle p({\vec {r}})}$

最も起こりやすい状態はボルツマン分布を最大化する状態であることが知られているため、重要度サンプリングに選択するのに適した分布は、ボルツマン分布または標準分布です。 ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}}$

使用する分布です。前の合計に代入すると、

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*} }$。

したがって、メトロポリス アルゴリズムを使用して正規分布で特定の変数の平均値を取得する手順は、メトロポリス アルゴリズムを使用して分布によって指定された状態を生成し、その状態に対して平均を実行することです。 ${\displaystyle p({\vec {r}})}$${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$

メトロポリス アルゴリズムをカノニカル分布で使用する場合、1 つの重要な問題を考慮する必要があります。特定の測定、つまり の実現を実行する場合、その実現がシステムの以前の状態と相関していないことを確認する必要があります (そうでない場合、状態は「ランダムに」生成されません)。関連するエネルギー ギャップを持つシステムでは、システムが以前の状態から相関を解除するために必要な時間が無限大になる可能性があるため、これがカノニカル分布の使用の主な欠点です。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

前述のように、ミクロカノニカルアプローチには大きな欠点があり、これはモンテカルロ積分を使用するほとんどのシステムで関係します。「粗いエネルギーランドスケープ」を持つシステムでは、マルチカノニカルアプローチを使用できます。

マルチカノニックアプローチでは、重要度サンプリングに異なる選択肢を使用します。

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}}$

ここで、 はシステムの状態密度です。 この選択の主な利点は、エネルギー ヒストグラムが平坦になること、つまり、生成された状態がエネルギーに対して均等に分散されることです。 つまり、メトロポリス アルゴリズムを使用する場合、すべてのエネルギーが均等に扱われるため、シミュレーションでは「大まかなエネルギー ランドスケープ」は表示されません。 ${\displaystyle \オメガ (E)}$

この選択の主な欠点は、ほとんどのシステムで が未知であるという事実です。これを克服するために、通常はWang と Landau のアルゴリズムを使用して、シミュレーション中に DOS を取得します。DOS がわかれば、状態の生成は に依存しないため、すべての変数の平均値をすべての温度で計算できることに注意してください。 ${\displaystyle \オメガ (E)}$${\displaystyle \beta}$

このセクションでは、実装はIsing モデルに焦点を当てます。各側に L 個のスピン (格子サイト) がある 2 次元スピン ネットワークを考えてみましょう。当然スピンが存在するため、位相空間は離散的であり、N 個のスピンによって特徴付けられます。ここで、は各格子サイトのスピンです。システムのエネルギーは で与えられます。ここで、 はi の最初の近傍スピンのセットであり、J は相互作用行列です (強磁性 Ising モデルの場合、J は単位行列です)。問題は次のように述べられます。 ${\displaystyle N=L^{2}}$${\displaystyle {\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})}$${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$${\displaystyle E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})}$${\displaystyle viz_{i}}$

この例では、他の観測量に一般化するのは簡単なので、目的はと を取得することです(たとえば、システムの磁化率を取得します)。定義によれば、です。 ${\displaystyle \langle M\rangle }$${\displaystyle \langle M^{2}\rangle }$${\displaystyle M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}}$

まず、システムを初期化する必要があります。をシステムのボルツマン温度とし、初期状態（最終結果はそれに依存しないため、任意の初期状態を指定できます）でシステムを初期化します。 ${\displaystyle \beta =1/k_{b}T}$

ミクロカノニック選択では、メトロポリス法を使用する必要があります。どの状態を選択するかの正しい方法はないため、一度に 1 つのスピンを反転するように特定して選択することができます。この選択は通常、シングル スピン フリップと呼ばれます。単一の測定を実行するには、次の手順に従います。

ステップ 1: 分布に従う状態を生成します。 ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

ステップ 1.1: TT を次の反復回数実行します。

ステップ 1.1.1: スピンを持つ格子サイトをランダムに (確率 1/N) 選択します。これを i と呼びます。 ${\displaystyle \sigma_{i}}$

ステップ 1.1.2: ランダムな数字を選択します。 ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

ステップ 1.1.3: スピン i を反転しようとする際のエネルギー変化を計算します。

${\displaystyle \Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}}$

そしてその磁化変化：${\displaystyle \Delta M=-2\sigma _{i}}$

ステップ 1.1.4: の場合はスピン ( ) を反転し、それ以外の場合は反転しません。 ${\displaystyle \alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})}$${\displaystyle \sigma _{i}=-\sigma _{i}}$

ステップ1.1.5: スピンが反転した場合のいくつかのマクロ変数を更新する: 、${\displaystyle E=E+\Delta E}$${\displaystyle M=M+\Delta M}$

TT 回経過すると、システムは以前の状態と相関がないとみなされます。つまり、この時点でシステムが特定の状態にある確率は、この方法で提案されている目的であるボルツマン分布に従います。

ステップ2: 測定を実行します。

ステップ2.1: ヒストグラムにMとM ²の値を保存します。

最後に、TT を推定するのは簡単ではないことに注意してください。システムが以前の状態からいつ無相関になるかを判断するのは簡単ではないためです。この点を克服するために、通常は固定の TT ではなく、TT をトンネル時間として使用します。1 回のトンネル時間は、システムがエネルギーの最小値から最大値まで移動して戻るために必要なステップ数として定義されます。

イジングモデルのようなシステムで単一のスピン反転を選択するこの方法の主な欠点は、トンネル時間がz が 0.5 より大きい場合のべき乗法則に比例することであり、これは臨界減速と呼ばれる現象です。 ${\displaystyle N^{2+z}}$

したがって、この方法はダイナミクスを無視しますが、これは大きな欠点にも大きな利点にもなり得ます。実際、この方法は静的な量にのみ適用できますが、動きを自由に選択できるため、この方法は非常に柔軟です。もう 1 つの利点は、イジング モデルなどの一部のシステムには動的記述がなく、エネルギーの規定によってのみ定義されることです。これらのシステムでは、モンテ カルロ アプローチが唯一実行可能なアプローチです。

統計力学におけるこの方法の大きな成功は、仮想温度を導入して徐々に下げていく最適化のための シミュレーテッドアニーリング法など、さまざまな一般化につながりました。

• モンテカルロ積分
• メトロポリスアルゴリズム
• 重要度サンプリング
• 量子モンテカルロ
• モンテカルロ分子モデリング

• Allen, MP & Tildesley, DJ (1987)。『液体のコンピュータシミュレーション』。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-855645-4。
• Frenkel, D. & Smit, B. (2001).分子シミュレーションの理解. アカデミック プレス. ISBN 0-12-267351-4。
• Binder, K. & Heermann, DW (2002).統計物理学におけるモンテカルロシミュレーション入門(第 4 版). Springer. ISBN 3-540-43221-3。
• スパニエ、ジェローム、ゲルバード、エリー M. (2008)。「重要度サンプリング」。モンテカルロ原理と中性子輸送問題。ドーバー。pp. 110–124。ISBN 978-0-486-46293-6。