メスナーの定理

数論において、モエスナーの定理またはモエスナーの魔法^[1]は、整数の列を代数的に再帰的に操作することで、正の整数の指数の無限列を生成する算術アルゴリズムに関連しています。このアルゴリズムは、1951年にアルフレッド・モエスナー[2]によって初めて発表されました。その有効性の 最初 の^証明は、同じ年にオスカー・ペロン^{[3]によって与えられました。 [4]}${\displaystyle 1^{n},2^{n},3^{n},4^{n},\cdots ~,}$${\displaystyle n\geq 1~,}$

たとえば、 の場合、すべての偶数を削除して を得て、その後、すべての前の要素の合計に各奇数を加えて を得ることができます。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle (1,3,5,7\cdots )}$${\displaystyle (1,4,9,16,\cdots )=(1^{2},2^{2},3^{2},4^{2}\cdots )}$

すべての正の整数を書き出し、正の整数を持つ - 番目の要素をすべて削除します。残りの数値で新しい部分和のシーケンスを構築します。新しいシーケンスのすべての - 番目の要素を削除し、新しい部分和のシーケンスを作成し続けます。シーケンス については、- 番目の要素を削除し、新しい部分和のシーケンスを作成します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n-k+1)}$

この手順は-番目のシーケンスで停止します。残りのシーケンスは^{[4] [5]に対応します。}${\displaystyle n}$${\displaystyle 1^{n},2^{n},3^{n},4^{n}\cdots ~.}$

初期シーケンスは正の整数のシーケンスであり、

${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16\cdots ~.}$

については、整数の列から4つおきの数を削除し、各要素を前の要素の合計に加えます。 ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle 1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15\cdots \to 1,3,6,11,17,24,33,43,54,67,81,96\cdots }$

今度は3つおきの要素を削除し、部分和を加算し続けます。

${\displaystyle 1,3,11,17,33,43,67,81\cdots \to 1,4,15,32,65,108,175,256\cdots }$

2つおきの要素を削除し、部分和を加算し続ける

${\displaystyle 1,15,65,175\cdots \to 1,16,81,256\cdots }$、

回復します。 ${\displaystyle 1^{4},2^{4},3^{4},4^{4},\cdots }$

代わりに三角数を除去すると、同様の手順で階乗 の列が得られる^[1]${\displaystyle 1!,2!,3!,4!,\cdots ~.}$

• ポルスター、ブルカード（2021年7月17日）。「モースナーの奇跡。なぜ2000年以上も発見されなかったのか？」。Mathologer（短編ドキュメンタリービデオ） 。 2021年7月20日閲覧– YouTube経由。