ミリマノフの合同

数学の一分野である数論において、ミリマノフの合同式はモジュラー算術における表現式の集合の1つであり、それが成り立つ場合、フェルマーの最終定理が真実であることが必然的に伴う。この定理は証明されたため、ミリマノフ多項式はそれ自体興味深いものであるものの、これらは現在では主に歴史的な重要性を持つ。この定理はドミトリー・ミリマノフによるものである。

素数pに対するn次のミリマノフ多項式は

${\displaystyle \phi _{n}(t)=1^{n-1}t+2^{n-1}t^{2}+...+(p-1)^{n-1}t^{p-1}.}$

これらの多項式に関して、tが6つの値{- X / Y、- Y / X、- X / Z、- Z / X、- Y / Z、- Z / Y }のいずれかであり、 X ^p + Y ^p + Z ^p =0がフェルマーの最終定理の解である場合、

• φ _{p -1} ( t ) ≡ 0 (mod p )
• φ _{p -2} ( t )φ ₂ ( t ) ≡ 0 (mod p )
• φ _{p -3} ( t )φ ₃ ( t ) ≡ 0 (mod p )

...

• φ _{( p +1)/2} ( t )φ _{( p -1)/2} ( t ) ≡ 0 (mod p )

ミリマノフは次のことも証明した。

• 奇数の素数p がベルヌーイ数 B _{p -3}、B _{p -5}、B _{p -7} 、またはB _{p -9}の分子の 1 つを割り切れない場合、フェルマーの最終定理の最初のケース、すなわち方程式X ^p + Y ^p + Z ^p =0においてp がX、Y 、またはZ を割り切れない場合が成立します。
• 素数pについてフェルマーの最終定理の最初のケースが成り立たない場合、 3 ^{p -1} ≡ 1 (mod p ² ) となる。この特性を持つ素数は、 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) となる素数であるヴィーフェリッヒ素数と類似して、ミリマノフ素数と呼ばれることがある^。このような^合同性を満たす素数の存在は、フェルマーの最終定理の最初のケースへの影響が明らかになるずっと前から認識されていた。しかし、最初のヴィーフェリッヒ素数の発見はこれらの理論的発展の後に行われ、それらによって促されたのに対し、ミリマノフ素数の最初の例は非常に小さいため、ミリマノフが 1910 年に FLT との関連を定式化する前から既に知られており、この事実が、一部の筆者がその名前を使いたがらない理由を説明しているのかもしれない。ミリマノフは1895年の論文（298ページ）の早い段階で、現在彼の名前で知られている素数に対するかなり複雑なテストについて言及している。これは1861年にシルベスターが発表した公式から派生したもので、計算上の価値は少ないが理論的には大いに興味深い。このテストはレルヒ（1905）の476ページによってかなり簡略化され、一般にp > 3の場合、

${\displaystyle 3^{p-1}\equiv \left(-{\frac {2}{3}}\cdot \left\{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +\left\lfloor p/3\right\rfloor ^{-1}\right\}\right)p+1{\pmod {p^{2}}}}$

したがって、ある素数が中括弧内の式を割り切る場合、その素数はミリマノフ特性を持ちます。この条件は、エマ・レーマー (1938) による重要な論文でさらに洗練されました。この論文でレーマーは、ある数がヴィーフェリッヒとミリマノフの合同性を同時に満たすことが可能かどうかという、興味深く、いまだに答えの出ていない問題を考察しました。現在までに知られているミリマノフ素数は 11 と 1006003 ( OEISのシーケンスA014127 ) のみです。このうち 2 番目の素数の発見は、KE クロス (1965) によるものと思われます。

• KE Kloss、「いくつかの数論的計算」、国立標準局研究ジャーナル—B. 数学および数理物理学69 (1965)、pp. 335–336。
• エマ・レーマー、「ベルヌーイ数とフェルマーとウィルソンの商を含む合同性について」、Annals of Mathematics 39 (1938)、pp. 350-360。
• M. Lerch、「Zur Theorie des Fermatschen Quotienten...」、Mathematische Annalen 60 (1905)、471 ～ 490 ページ [1]。
• D. Mirimanoff、「Sur la Congruence ( r ^{p −1} − 1): p ≡ q _r」、Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895)、pp. 295–300 [2]。以下の 1937 年の論文にはいくつかの修正が加えられています。
• D. Mirimanoff、「Fermat et le Critérium de MA Wieferich の詳細」、L'Enseignement Mathématique 11 (1909)、455 ～ 459 ページ [3]。
• D. ミリマノフ、「フェルマーの理論的研究」、科学アカデミー150 (1910 年)、204 ～ 206 ページ。この論文の改訂および拡張版は、Journal für die reine und angewandte Mathematik 139 (1911)、pp. 309–324に同じタイトルで掲載されました[4]。
• D. Mirimanoff、「Sur les nombres de Bernoulli」、L'Enseignement Mathématique 36 (1937)、pp. 228–235 [5]。
• パウロ・リーベンボイム、『フェルマーの最終定理に関する13の講義』、シュプリンガー、1979年
• パウロ・リベンボイム『私の数、私の友人：数論に関する人気講義』、Springer、2006年