距離空間は部分空間を狙う

数学において、その部分空間に向けられた距離空間は、直接的な幾何学的意味を持つカテゴリ構成です。また、距離空間のカテゴリの基本（単射）オブジェクトである距離エンベロープまたはタイトスパンの構築に向けた有用なステップでもあります。

(Holsztyński 1966)に従って、その部分空間Xを対象とした距離空間Yの概念が定義されます。

非公式には、地形Yとその一部X を想像してください。 Yのどこにでも狙撃手を置き、Yの別の場所にリンゴを置き、狙撃手に発砲させると、弾丸はリンゴを通り抜けて必ずXの点に当たるか、少なくともXの点の近くを飛んでいきます。この場合、 YはXに向けられていると言えます。

演繹的には、与えられたXに対して、 Xを目指す超空間Y は任意に大きいか、少なくとも巨大になり得ると考えられる。これは当てはまらないことが後でわかる。Xに等長な部分空間を目指す空間の中には、唯一の（等長性を除いて）普遍的な空間 Aim( X )があり、これは標準的な等長埋め込みの意味で、X（の等長像）を目指す他の任意の空間を含む。また、任意のコンパクト計量空間Xの特殊なケースでは、Xを目指す任意の計量空間Yのすべての有界部分空間は完全に有界である（つまり、その計量完備化はコンパクトである）。

を距離空間とする。をのサブセットとし、 （から への距離が制限された集合）が の距離サブスペースとなるようにする。すると、 ${\displaystyle (Y,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,d|_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,d)}$

定義。空間がを目指すのは、のすべての点、および任意の実数 に対して、の点が存在し、 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y,z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle |d(p,y)-d(p,z)|>d(y,z)-\epsilon .}$

を の実数値計量写像（非収縮）全体の空間とします。定義 ${\displaystyle {\text{Met}}(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Aim}}(X):=\{f\in \operatorname {Met} (X):f(p)+f(q)\geq d(p,q){\text{ すべての}}p,q\in X\}に対して。}$

それから

${\displaystyle d(f,g):=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|<\infty }$

任意の は上の計量です。さらに、 （ただし ）はの への等長埋め込みです。これは本質的に、有界計量空間の への Kuratowski-Wojdysławski 埋め込みの一般化です。ここでは、任意の計量空間（有界または非有界）を検討します。空間がを対象としていることは明らかです。 ${\displaystyle f,g\in {\text{目標}}(X)}$${\displaystyle {\text{目標}}(X)}$${\displaystyle \delta _{X}\colon x\mapsto d_{x}}$${\displaystyle d_{x}(p):=d(x,p)\,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {目標} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \operatorname {目標} (X)}$${\displaystyle \delta _{X}(X)}$

を等長埋め込みとします。すると、次のような自然な計量写像が存在します。 ${\displaystyle i\colon X\to Y}$${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {目標} (X)}$${\displaystyle j\circ i=\delta _{X}}$

${\displaystyle (j(y))(x):=d(x,y)\,}$

すべてのおよびに対して。 ${\displaystyle x\in X\,}$${\displaystyle y\in Y\,}$

定理上記の空間Y は、自然なマッピングが等長埋め込みである場合にのみ、サブスペースXに向けられます。${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {目標} (X)}$

したがって、 Xを対象とするすべての空間は、いくつかの追加の（必須の）カテゴリ要件を満たした状態で、Aim(X)に等角的にマッピングできることになります。

空間 Aim(X) は単射（ Aronszajn -Panitchpakdiの意味で超凸）である - Aim(X) を計量部分空間として含む計量空間Mが与えられた場合、 Mから Aim(X) への標準的な（明示的な）計量後退が存在する（Holsztyński 1966）。

• Holsztyński, W. (1966)、「その部分空間を対象とする距離空間について」、Prace Mat.、10 :95–100、MR  0196709