メタ定理

論理学において、メタ定理とは、メタ言語で証明された形式体系に関する文である。特定の形式体系内で証明された定理とは異なり、メタ定理はメタ理論内で証明され、メタ理論には存在するがオブジェクト理論には存在しない概念を参照することがある。^[要出典]

形式体系は、形式言語と演繹体系（公理と推論規則）によって決定される。形式体系は、形式言語の特定の文をその体系で証明するために使用できる。しかし、メタ定理は、問題の体系の外部、つまりメタ理論で証明される。論理学で使用される一般的なメタ理論は、集合論（特にモデル理論）と原始再帰算術（特に証明理論）である。メタ定理は、特定の文が証明可能であることを示すのではなく、広範な文のクラスのそれぞれが証明可能であることを示したり、特定の文が証明できないことを示すことがある。^[要出典]

メタ定理の例には以下のものがあります。

• 第一階論理の演繹定理によれば、 φ→ψ の形式の文が公理の集合Aから証明可能であるのは、文 ψ が、 φ とAのすべての公理からなる公理系から証明可能である場合のみである。
• フォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論の類存在定理は、量指定子の範囲が集合のみであるすべての式に対して、その式を満たす集合からなる類が存在することを述べています。
• ペアノ算術などのシステムの一貫性証明。
• ゲーデルの完全性定理は、一階述語論理が完全であることを述べています。

• メタ数学
• 使用と言及の区別

• ジェフリー・ハンター（1969）、メタロジック。
• アラスデア・アーカート (2002)、「メタ理論」、哲学的論理学の手引き、デール・ジャケット (編)、p. 307

• 数学百科事典のメタ定理
• バリレ、マルゲリータ。 「メタ定理」。マスワールド。