平均周期関数

数学的解析において、平均周期関数の概念は、1935年にジャン・デルサルト^{[1] [2]によって導入された}周期関数 の概念の一般化である。その後、ローラン・シュワルツとJP・カハネによってさらなる成果がもたらされた。^{[3] [4]}

実変数の連続複素数値関数f を考える。関数fが周期aで周期的であるためには、すべての実数xに対してf ( x ) − f ( x − a ) = 0が成り立つ必要がある。これは次のように書ける。

${\displaystyle \int f(xt)\,d\mu (t)=0\qquad \qquad (1)}$

ここで、 は0 と aにおけるディラック測度の差です。関数f は、同じ式 (1) を満たす場合、平均周期的ですが、 はコンパクトな (したがって有界な) 台を持つ任意の非ゼロ測度です。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$

式(1)は畳み込みとして解釈できるので、平均周期関数とは、コンパクトに支えられた（符号付き）ボレル測度が存在する関数fのことである。^[4]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f*\mu =0}$

よく知られている同等の定義がいくつかあります。^[2]

平均周期関数は、ほぼ周期的な関数から周期関数を一般化したものです。たとえば、指数関数はexp( x +1) − e .exp( x ) = 0なので平均周期関数ですが、無限大なのでほぼ周期的ではありません。それでも、一様連続で有界な平均周期関数はほぼ周期的であるという定理があります(ボーアの意味で)。逆に、平均周期ではないほぼ周期関数も存在します。^[2]

f が平均周期関数である場合、それは項 t^^n exp(at) の有限線形結合である指数多項式の特定のシーケンスの極限です。ここで、n は任意の非負整数で、a は任意の複素数です。また、Df は平均周期関数 (つまり、平均周期) であり、h が指数多項式である場合、f と h の点ごとの積は平均周期です。

f と g が平均周期的である場合、f + g と f と g の切り捨て畳み込み積は平均周期的です。ただし、f と g の点ごとの積は平均周期的である必要はありません。

L(D) が定数係数を持つ線型微分演算子であり、L(D)f = g である場合、g が平均周期的であるときのみ、f は平均周期的です。

Df(t) - af(t - b) = gのような線形微分差分方程式（aは任意の複素数、bは正の実数）の場合、fが平均周期的であるのはgが平均周期的である場合に限ります。^[5]

ラングランズ対応に関連する研究では、算術スキームに関連付けられた特定のゼータ関数（に関連する関数）の平均周期性が、関連するL関数の自己同型性に対応することが示唆されています。^[6]数論から生じる平均周期関数の特定のクラスがあります。

• 　ほぼ周期的な関数