メイソンの不変量

電子工学において、サミュエル・ジェファーソン・メイソンにちなんで名付けられたメイソン不変量は、トランジスタの品質を測る尺度です。

「一見難しい問題を解決しようとするとき、サムはまず簡単なものに集中しなさいと言った。そうすれば、最も難しいものも含め、残りは後からついてくる」と、クアルコムの共同創設者で元副社長のアンドリュー・ビタビは回想する。彼はMITでサミュエル・メイソンの指導を受けており、これは彼が教授から特に覚えている教訓の1つだった。^[1]数年前、メイソンは線形2ポートデバイス、つまりUの片側電力利得を定義したとき、自分のアドバイスに従っていた。フィードバック増幅器の電力利得に関するより簡単な問題に集中した後、すべての3端子デバイスの性能指数が導き出され、これは今日でもメイソンの不変量として使用されている。^[2]

1953年、トランジスタは誕生からわずか5年で、唯一の成功した固体3端子能動デバイスでした。トランジスタはRFアプリケーションに使用され始めていましたが、VHF周波数以下に制限されていました。メイソンはトランジスタを比較するための性能指数を見つけたいと考え、その結果、線形2ポートデバイスの片側電力利得が不変の性能指数であることを発見しました。 ^[2]

1953年に発表された論文「フィードバック増幅器の電力利得」の序文でメイソンは次のように述べています。

「真空管は、受動インピーダンスを駆動する単純なトランスコンダクタンスとして表現されることが多く、入力インピーダンス（したがって電力利得）が実質的に無限大で、電圧利得が重要な量であり、入力回路が負荷から分離されている、比較的単純なアンプ設計につながる可能性があります。ただし、トランジスタは通常、それほど簡単に特性評価することはできません。」^[3]

彼は、トランジスタの品質を特徴づけ、測定する基準を見つけたいと考えていました。それまで、そのような基準は存在しなかったからです。彼の発見は、トランジスタ以外にも応用できることが判明しました。

メイソンはまず、研究対象の装置を以下の3つの制約で定義した。^[2]

1. デバイスにはポートが 2 つしかありません (デバイスと外部デバイス間で電力を転送できるポート)。
2. デバイスは線形です (2 つのポートの電流と電圧の関係において)。
3. このデバイスは、指定された方法（線形1 ポートソースと線形 1 ポート負荷の間に増幅器として接続）で使用されます。

その後、マドゥ・グプタの著書「Power Gain in Feedback Amplifiers, a Classic Revisited」によれば、メイソンは問題を「埋め込みネットワークによって表される変換に対して不変なデバイス特性の探索」と定義し、以下の4つの制約を満たしているとした。^[2]

1. 埋め込みネットワークは 4 ポートです。
2. 埋め込みネットワークは線形です。
3. 埋め込みネットワークはロスレスです。
4. 埋め込みネットワークは相互的です。

次に彼は、上記の制約を満たすすべての変換は、3つの単純な変換を順番に実行するだけで実現できることを示しました。同様に、これは、埋め込みネットワークを3つの埋め込みネットワークの集合で表すことと同じです。3つの数式を以下に示します。^[2]

1. リアクタンスパディング: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z'_{11}&Z'_{12}\\Z'_{21}&Z'_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}+jx_{11}&Z_{12}+jx_{12}\\Z_{21}+jx_{21}&Z_{22}+jx_{22}\end{bmatrix}}}$

2. 現実の変化: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z'_{11}&Z'_{12}\\Z'_{21}&Z'_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{11}&n_{12}\\n_{21}&n_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{11}&n_{12}\\n_{21}&n_{22}\end{bmatrix}}}$

3. 反転: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z'_{11}&Z'_{12}\\Z'_{21}&Z'_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}}^{-1}}$

メイソンは次に、これら3つの変換のそれぞれにおいてどの量が不変のままであるかを検討した。上記の変換ごとにリストされた彼の結論は以下のとおりである。各変換では以下の値は不変のままであった。^[2]

1. リアクタンスパディング： そして ${\displaystyle \left[Z-Z_{t}\right]}$${\displaystyle \left[Z+Z^{*}\right]}$

2. 現実の変革： そして ${\displaystyle \left[Z-Z_{t}\right]\left[Z+Z^{*}\right]}$${\displaystyle {\dfrac {\det {\left[Z-Z_{t}\right]}}{\det {\left[Z+Z^{*}\right]}}}}$

3. 反転: 上記の分数の2つの行列式の大きさと分母の符号は反転変換では変化しません。したがって、3つの条件すべてにおいて不変な量は次のとおりです。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\dfrac {|\det {\left[Z-Z_{t}\right]}|}{\det {\left[Z+Z^{*}\right]}}}\\&={\dfrac {|Z_{12}-Z_{21}|^{2}}{4(\operatorname {Re} [Z_{11}]Re[Z_{22}]-\operatorname {Re} [Z_{12}]\operatorname {Re} [Z_{21}])}}\\&={\dfrac {|Y_{21}-Y_{12}|^{2}}{4(\operatorname {Re} [Y_{11}]\operatorname {Re} [Y_{22}]-\operatorname {Re} [Y_{12}]\operatorname {Re} [Y_{21}])}}\end{aligned}}}$

メイソンの不変量、つまり U は、ロスレスの相互埋め込みに対して不変である唯一のデバイス特性です。言い換えれば、U は、2 ポート アクティブ デバイス (2 ポートとして使用される 3 端子デバイスを含む) を比較するための性能指数として使用できます。たとえば、BJT を生産している工場では、生産しているトランジスタの U を計算し、その品質を市場の他の BJT と比較できます。さらに、U はアクティビティの指標として使用できます。U が 1 より大きい場合、2 ポート デバイスはアクティブです。それ以外の場合、そのデバイスはパッシブです。これは、マイクロ波エンジニアリング コミュニティで特に役立ちます。もともと回路理論ジャーナルに掲載されましたが、メイソンの論文は、マイクロ波周波数範囲で U が通常 1 よりわずかに大きいか 1 に等しいため、特にマイクロ波エンジニアにとって関連性があります。U が 1 より小さいかかなり大きい場合、U は比較的役に立たなくなります。^[2]

メイソン不変量はすべての動作周波数にわたって性能指数として使用できますが、ƒ _maxでの値は特に有用です。ƒ _{max は}デバイスの最大発振周波数であり、 のときに検出されます。この周波数は、デバイスの最大安定ゲイン G ms と最大利用可能ゲイン G ma が 1 になる周波数でもあります。したがって、ƒ _maxは_デバイスの特性_であり、アクティブデバイスが 1 つだけ存在し、デバイスがパッシブネットワークに組み込まれ、単一の正弦波信号のみが対象である回路の最大発振周波数であるという意味を持ちます。^[2]${\displaystyle U(f_{\max })=1}$

メイソンの論文を再検討したグプタは、「おそらく、デバイスの性能指数としての片側電力利得の概念の有用性を示す最も説得力のある証拠は、過去 30 年間、高周波用に開発されたほぼすべての新しいアクティブな 2 ポート デバイスが、U の達成可能な値について綿密に精査されてきたという事実です...」と述べています。^[2]この仮定は適切です。なぜなら、「U _max」または「最大片側利得」は依然としてトランジスタの仕様書に記載されており、メイソンの不変量は依然として一部の学部の電気工学カリキュラムで教えられているからです。50 年以上経った今でも、メイソンの不変デバイス特性の発見は、トランジスタ設計において依然として重要な役割を果たしています。

• 散乱パラメータ