マダヴァの補正項

マダヴァの補正項は、ケララ学派の天文学と数学の創始者であるサンガマグラマのマダヴァ（1340年頃-1425年頃）に帰せられる数式であり、 πのマダヴァ-ライプニッツ無限級数を切り捨てて得られる部分和近似よりも、数学定数π（円周率）の値をより正確に近似するために使用できます。πのマダヴァ-ライプニッツ無限級数は 、

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

最初の項の部分和をとると、πの近似値は次のようになります。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}}$

Madhava補正項を で表すと、 πのより良い近似値は次のようになります。 ${\displaystyle F(n)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F(n)}$

マダヴァは の可能な値として3つの異なる表現を挙げている。 ${\displaystyle F(n)}$

${\displaystyle F_{1}(n)={\frac {1}{4n}}}$

${\displaystyle F_{2}(n)={\frac {n}{4n^{2}+1}}}$

${\displaystyle F_{3}(n)={\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

ケララ学派の数学者たちの現存する著作には、補正項とがどのように得られたかに関する記述がいくつかあるが、式がどのように得られたかに関する記述はない。このため、式がどのように導かれたのかに関する多くの推測研究が行われている。 ${\displaystyle F_{1}(n)}$${\displaystyle F_{2}(n)}$${\displaystyle F_{3}(n)}$

およびの表現は、1530年頃にケララ数学派のインドの天文学者ジェスタデーヴァが著した数学と天文学に関する主要な論文であるユクティバシャに明示的に与えられているが、 の表現は、の導出につながる議論のステップとしてのみそこに登場している。^{[1] [2]}${\displaystyle F_{2}(n)}$${\displaystyle F_{3}(n)}$${\displaystyle F_{1}(n)}$${\displaystyle F_{2}(n)}$

ケーララ学派に属する天文学者・数学者ニラカンタ・ソマヤジが1501年に完成させた論文『タントラサングラハ』のユクティディピカ・ラグヴィヴァルティ注釈では、次の詩節（第2章：詩節271～274）で2番目の訂正用語が提示されている。^{[3] [1]}

詩の英語訳：^[3]

「直径の 4 倍に、直径の 4 倍を 3、5 などの奇数で別々に割り、交互に加算および減算します。このプロセスが終了する奇数、直径の 4 倍に次の偶数を掛け、半分にしてから、その [偶数] の 2 乗に 1 を加えた値で割ります。結果は、最後の項が減算または加算された値に従って加算または減算されます。これにより、そのプロセスを続ける場合よりも正確な円周が得られます。」

現代の表記法では、これは次のように表すことができます (ここでは円の直径です)。 ${\displaystyle d}$

周${\displaystyle =4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4d\left(p+1\right)/2}{1+(p+1)^{2}}}}$

と設定すると、上式の右辺の最後の項は になります。 ${\displaystyle p=2n-1}$${\displaystyle 4dF_{2}(n)}$

同じ解説書では、次の節（第 2 章 295 ～ 296 節）でも 訂正用語が示されています。${\displaystyle F_{3}(n)}$

詩の英語訳：^[3]

「さらに微妙な方法だが、別の修正を加える。直径の 4 倍を奇数、3、5 などで割る最初の手順はそのままにしておく。その後、直径の 4 倍に 1 を掛け、次の偶数を半分にして 2 乗し、前の乗数の 4 倍に 1 を足したもので割り、さらに偶数を半分にして掛けたもので足すか引く。」

現代の表記法では、次のように表現できます。

${\displaystyle {\text{Circumference}}=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4dm}{\left(1+4m\right)(p+1)/2}},}$

ここで、「乗数」をと設定すると、上記の式の右側の最後の項は に簡約されます。 ${\textstyle m=1+\left((p+1)/2\right)^{2}.}$${\displaystyle p=2n-1}$${\displaystyle 4dF_{3}(n)}$

させて

${\displaystyle s_{i}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F_{i}(n)}$。

と書くと、誤差の範囲は次のようになる: ^{[2] [4]}${\displaystyle p=2n+1}$${\displaystyle \left|{\frac {\pi }{4}}-s_{i}(n)\right|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}{\frac {1}{p^{3}-p}}-{\frac {1}{(p+2)^{3}-(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{1}(n)\right|<{\frac {1}{p^{3}-p}},\\[10mu]{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{2}(n)\right|<{\frac {4}{p^{5}+4p}},\end{aligned}}\\[20mu]&{\begin{aligned}&{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}-{\frac {36}{(p+2)^{7}+7(p+2)^{5}+28(p+2)^{3}-36(p+2)}}\cdots \\[10mu]&{\phantom {{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}}}<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{3}(n)\right|<{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}.\end{aligned}}\end{aligned}}}$

πの値を計算する際にこれらの近似値を使用する際の誤差は

${\displaystyle E(n)=\pi -4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}\right)}$

${\displaystyle E_{i}(n)=E(n)-4\times (-1)^{n}F_{i}(n)}$

次の表は、 のいくつかの選択された値に対するこれらの誤差の値を示しています。 ${\displaystyle n}$

補正項は、次の連分数式の最初の3つの収束項であることが指摘されている。^[3]${\displaystyle F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)}$

• ${\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\cdots }}}}}}}$

• ${\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {r^{2}}{n[4-3(r{\bmod {2}})]+\cdots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}$

方程式をレンダリングする 関数${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots \pm {\frac {1}{n}}\mp f(n+1)}$

正確には次の形式で表現できる: ^[1]

${\displaystyle f(n)={\frac {1}{2}}\times {\cfrac {1}{n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{n+{\cfrac {3^{2}}{n+\cdots }}}}}}}}}$

この無限連分数の最初の 3 つの収束は、まさに Madhava の補正項です。また、この関数には次の特性があります。 ${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle f(2n)={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}$

1990年に発表された論文で、3人の日本人研究者のグループは、マドハバが3つの補正項を得たであろう独創的な方法を提案した。彼らの提案は、マドハバがπの値として を使用し、除算にユークリッドの互除法を使用したという2つの仮定に基づいていた。 ^{[5] [6]}${\displaystyle 355/113}$

書き込み

${\displaystyle S(n)=\left|1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}-{\frac {\pi }{4}}\right|}$

そして、値を計算して分子が 1 である分数として表し、最後に分母の小数部分を無視して近似値を取得します。 ${\displaystyle \pi =355/113,}$${\displaystyle S(n),}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}S(1)&=\ \ \,{\frac {97}{452}}&&=\ \ \ {\frac {1}{4+{\frac {64}{97}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]S(2)&=\ \ {\frac {161}{1356}}&&=\ \ \,{\frac {1}{8+{\frac {68}{161}}}}&&\approx {\frac {1}{8}},\\[6mu]S(3)&=\ \ {\frac {551}{6780}}&&=\ \,{\frac {1}{12+{\frac {168}{551}}}}&&\approx {\frac {1}{12}},\\[6mu]S(4)&=\ {\frac {2923}{47460}}&&=\ {\frac {1}{16+{\frac {692}{2923}}}}&&\approx {\frac {1}{16}},\\[6mu]S(5)&={\frac {21153}{427140}}&&={\frac {1}{20+{\frac {4080}{21153}}}}&&\approx {\frac {1}{20}}.\end{alignedat}}}$

これは、前に説明した補正項である次の最初の近似値を示唆しています。 ${\displaystyle S(n)}$${\displaystyle F_{1}(n)}$

${\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n}}}$

無視された分数は、分子を 1 として表し、分母の小数部を無視して次の近似値を得ることができます。このような 2 つの手順は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {64}{97}}&=\ \,{\frac {1}{1+{\frac {33}{64}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},&{\frac {33}{64}}&=\,{\frac {1}{1+{\frac {31}{33}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},\\[6mu]{\frac {68}{161}}&=\ \,{\frac {1}{2+{\frac {25}{68}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},&{\frac {25}{68}}&=\,{\frac {1}{2+{\frac {18}{25}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},\\[6mu]{\frac {168}{551}}&=\ {\frac {1}{3+{\frac {47}{168}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},&{\frac {47}{168}}&=\,{\frac {1}{3+{\frac {27}{47}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},\\[6mu]{\frac {692}{2923}}&={\frac {1}{4+{\frac {155}{692}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},&{\frac {155}{692}}&={\frac {1}{4+{\frac {72}{155}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]{\frac {4080}{21153}}&={\frac {1}{5+{\frac {753}{4080}}}}&&\approx {\frac {1}{5}},&\quad {\frac {753}{4080}}&={\frac {1}{5+{\frac {315}{753}}}}&&\approx {\frac {1}{5}}.\end{alignedat}}}$

これにより、次の2つの近似値は補正項と全く同じになる。${\displaystyle S(n),}$${\displaystyle F_{2}(n),}$

${\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n+{\dfrac {1}{n}}}}={\frac {n}{4n^{2}+1}},}$

そして${\displaystyle F_{3}(n),}$

${\displaystyle S(n)\approx {\dfrac {1}{4n+{\dfrac {1}{n+{\dfrac {1}{n}}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n(4n^{2}+5)}},}$

マダヴァ作とされる。

• マダヴァシリーズ
• マダヴァの正弦表

• CT ラジャゴパルと MS ランガチャリ (1986)。「中世ケララの数学について」。正確な科学の歴史のアーカイブ。35 (2): 91–99。doi : 10.1007 /BF00357622。JSTOR 41133779。S2CID  121678430  。
• P. Rajasekhar (2011 年 6 月)。「Yukthibhasa に描かれたπの級数展開の剰余項の導出とその現代的解釈」。Kerala数学協会紀要。8 (1): 17–39。
• ランジャン・ロイ (2011 年 6 月 13 日)。「15 世紀ケーララのべき級数」、数学の発展の源泉: 15 世紀から 21 世紀までの無限級数と積から抜粋。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-11470-7。