ルーカス・カーマイケル数

数学において、ルーカス・カーマイケル数とは、以下の条件を満たす正の合成整数n のことである。

1. pがnの素因数であるならば、p + 1はn + 1の因数である。
2. nは奇数で平方数ではない。

最初の条件は、-1 を +1 に置き換えたKorselt のCarmichael 数の判定基準に似ています。2 番目の条件は、8 や 27 のような素数の立方数など、自明なケースを考慮から除外します。これらの数は、そうでなければ Lucas–Carmichael 数になります ( n ³  +  1 =  ( n  +  1)( n ² − n + 1) は常にn + 1で割り切れるため)。       

それらはエドゥアール・リュカとロバート・カーマイケルにちなんで名付けられました。

最小のルーカス・カーマイケル数は 399 = 3 × 7 × 19 です。3+1、7+1、19+1 はすべて 399+1 = 400 の約数であることが簡単に確認できます。

4つの約数を持つ最小のルーカス・カーマイケル数は8855 = 5 × 7 × 11 × 23です。

5つの約数を持つ最小のルーカス・カーマイケル数は588455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43です。

ルーカス・カーマイケル数がカーマイケル数でもあるかどうかは不明である。

トーマス・ライトは2016年に、ルーカス・カーマイケル数は無限に存在することを証明した。^{[ 1 ]} もし${\displaystyle N(X)}$ルーカス・カーマイケル数の数を表す。${\displaystyle X}$ライトは、正の定数が存在することを示した。${\displaystyle K}$そのため

${\displaystyle N(X)\gg X^{K/\left(\log \log \log X\right)^{2}}}$。

最初のいくつかのルーカス・カーマイケル数（ OEISのシーケンスA006972）とその素因数を以下に示します。

• リチャード・ガイ（2004）。「セクションA13」。数論における未解決問題（第3 版）。シュプリンガー・フェルラーク。
• PlanetMathのルーカス・カーマイケル数。
• 「399（と2015）には特別な何かがある - Numberphile」。YouTube 。 2015年1月15日。2021年12月22日にオリジナルからアーカイブされました。