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数学において、関数の有限集合の下包絡線または点ごとの最小値は、関数の点ごとの最小値であり、その関数のあらゆる点における値は、与えられた集合内の関数の値の最小値である。下包絡線の概念は、その点に値を持つ関数の中でのみ最小値を取ることによって、部分関数に拡張することもできる。上包絡線または点ごとの最大値は対称的に定義される。関数の無限集合の場合、最小値の代わりに最小値、最大値の代わりに上限値を使用して同じ概念を定義できる。[1]
与えられたクラスの連続関数の場合、下限または上限エンベロープは、同じクラスに属する部分関数です。グラフの交点の数が制限されている単一の実変数関数の場合、下限または上限エンベロープの複雑さは、ダベンポート-シンツェルシーケンスを使用して制限でき、これらのエンベロープは、関数のサブセットのエンベロープを計算してからマージする分割統治アルゴリズムによって効率的に計算できます。 [2]
凸関数または準凸関数の場合、上包絡線は再び凸または準凸になります。下包絡線は凸または準凸ではありませんが、下包絡線で置き換えることで、凸性を維持する下包絡線に類似した操作を得ることができます。リプシッツ関数の上包絡線と下包絡線は、リプシッツ関数であるという性質を保持します。ただし、下包絡線と上包絡線の演算は、連続関数であるという性質を必ずしも保持しません。[3]
参考文献
- ^ Choquet, Gustave (1966)、「3. 関数族の上限と下限のエンベロープ」、Topology、Academic Press、pp. 129–131、ISBN 9780080873312
- ^ Boissonnat, Jean-Daniel ; Yvinec, Mariette (1998)、「15.3.2 下限エンベロープの計算」、Algorithmic Geometry、Cambridge University Press、p. 358、ISBN 9780521565295
- ^ ショケ（1966年）、136ページ。