低推力相対軌道遷移

軌道力学において、低推力相対移行とは、追跡宇宙船が4000～8000秒程度の比推力を持つ連続低推力システムを使用して、目標宇宙船に対して特定の相対距離をカバーする軌道操作である。 ^{[1]これは、熱}ロケットエンジンを使用して300～400秒程度の推力を発生させる従来の軌道上の衝動移行とは対照的である。このようなタイプの移行では、電動宇宙船推進やソーラーセイルなどの低推力推進システムを使用する。

低推力相対移動では、軌道相対運動方程式を使用します。これは、ターゲット宇宙船に固定された加速参照フレームの各軸に沿った変位に関して、ターゲットに対する追跡宇宙船の運動を記述する非線形方程式のセットです。 1960年に、WH ClohessyとRS WiltshireはClohessy-Wiltshire方程式^[2]を発表しました。これは、ターゲットが円軌道にあり、追跡宇宙船が楕円軌道または円軌道にある、軌道相対運動のかなり単純化されたモデルを示しています。利用可能な推力の量は限られているため、移動は、必要な目的と制約条件に従う 最適制御問題として提示されることがあります。

軌道上の相対運動とは、惑星を周回する宇宙船の、同じ惑星を周回する他の宇宙船に対する相対的な運動を意味します。ターゲットと呼ばれる 1 つの主要な宇宙船と、ターゲットに対して必要な操作を実行するタスクを持つ他の宇宙船があります。ミッション要件に基づいて、さまざまな相対軌道転送は、ランデブーおよびドッキング操作、およびターゲットに対するステーションの維持になります。推力インパルスを使用して宇宙船の速度を瞬時に変更するのとは異なり、非インパルス転送では推力が継続的に適用されるため、宇宙船は徐々に方向を変えます。非インパルス転送は、操作に低推力推進に依存しています。言及できる低推力推進方法には、イオン推進、ホール効果スラスタ、およびソーラーセイルシステムがあります。静電イオンスラスタは、高電圧電極を使用して静電気力でイオンを加速し、4000～8000秒の範囲内で比推力を実現します。

連続低推力相対移動は、相対軌道移動の運動モデルの方程式における制御入力として機能する特定の推力の要素を追加することで数学的に記述できます。1960 年代以降、方程式の簡略化を提供する線形化モデルが数多く開発されてきましたが、WH Clohessy と RS Wiltshire によって開発された人気のモデルは、連続移動を考慮できるように修正されており、次のように記述できます。

${\displaystyle {\ddot {x}}=3n^{2}x+2n{\dot {y}}+u_{x}}$

${\displaystyle {\ddot {y}}=-2n{\dot {x}}+u_{y}}$

${\displaystyle {\ddot {z}}=-n^{2}z+u_{z}}$

どこ：

• ${\displaystyle x}$、およびは、ターゲット固定参照フレームにおけるチェイサーの相対距離成分である。${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle u_{x},u_{y}}$およびは、目標固定参照フレームの、および軸に沿った制御入力の形での特定の推力である。${\displaystyle u_{z}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle n}$目標軌道の軌道周波数である

連続低推力移行では推力の利用可能性が限られているため、このようなタイプの移行は通常、特定のパフォーマンス指標と最終状態の制約を受け、定義された境界条件を持つ最適制御問題として移行を呈示します。^[3]移行が最適な制御入力消費を持つようにするには、問題は次のように記述できます。

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}({\vec {u}}^{T}\cdot R\cdot {\vec {u}})dt}$

相対的移転のダイナミクスに従う：

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}+B{\vec {u}}}$

境界条件:

${\displaystyle {\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t_{f})={\vec {x}}_{f}}$

どこ：

• ${\displaystyle {\vec {x}}}$状態ベクトルは次のように定義される。${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x&{\dot {x}}&y&{\dot {y}}&z&{\dot {z}}\end{bmatrix}}^{T}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$は次のように定義される制御入力ベクトルである。${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{bmatrix}}^{T}}$
• ${\displaystyle R}$重み行列である
• ${\displaystyle A}$は、 Clohessy-Wiltshire方程式から得られる状態行列であり、${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0\\3n^{2}&0&0&2n&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&-2n&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-n^{2}&0\\\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle B}$は入力行列であり、${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle t_{0}}$移転開始時刻
• ${\displaystyle t_{f}}$転送終了時刻
• ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$状態ベクトルの初期値である
• ${\displaystyle {\vec {x}}_{f}}$状態ベクトルの最終値である

場合によっては、システムを制御制約に従わせることも有用です。なぜなら、連続的な低推力転送の場合、推力の利用可能性には常に限界があるからです。したがって、利用可能な推力の最大量が である場合、上記の最適制御問題に、次のように追加の不等式制約を課すことができます。 ${\displaystyle u_{max}}$

${\displaystyle ||{\vec {u}}(t)||\leq u_{max}}$

さらに、追跡機と目標宇宙船が互いに非常に接近するような相対移動が発生する場合、衝突回避制約は、次のように最小相対距離の形で最適制御問題にも適用できます。 ${\displaystyle r_{min}}$

${\displaystyle ||{\vec {x}}(t)||\geq r_{min}}$

明らかな理由により、状態ベクトルの最終値は 未満になることはできません。 ${\displaystyle r_{min}}$

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