対数平均温度差

熱工学において、対数平均温度差（LMTD）は、流体システム、特に熱交換器における熱伝達の温度駆動力を決定するために用いられます。LMTDは、二重管式熱交換器の両端における高温側と低温側の供給温度差の対数平均です。面積と熱伝達係数が一定の熱交換器の場合、LMTDが大きいほど伝達される熱量が多くなります。LMTDの使用は、流量と流体の熱特性が一定の熱交換器の解析から直接導き出されます。

意味

一般的な熱交換器には、高温流体と低温流体が両側から流入または流出する2つの端（「A」と「B」と呼ぶ）があると仮定します。この場合、対数平均によるLMTDは次のように定義されます。

\mathrm {LMTD} ={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}

ここで、 $Δ T A$ $は端A$ における 2 つの流れの温度差、 $Δ T B$ $は端B$ における 2 つの流れの温度差です。2 つの温度差が等しい場合、この式は直接解けないため、慣例として LMTD はその極限値に等しくなります。この場合、それは自明に 2 つの温度差に等しくなります。

この定義を用いると、LMTDは熱交換器で交換される熱量を求めるために使用できる。

Q=\alpha \times A\times \mathrm {LMTD}

ここで（SI単位系）：

熱伝達係数の推定は非常に複雑な場合があることに注意してください。

これは、流れが同じ端から流入する並流と、流れが異なる端から流入する向流の両方に当てはまります。

クロスフロー方式では、通常はヒートシンクである一方のシステムが伝熱面上のすべての点で同じ公称温度を持つため、交換熱量と対数平均温度差（LMTD）の間には同様の関係が成り立ちますが、補正係数が必要となります。バッフル付きシェルアンドチューブ式熱交換器など、より複雑な形状の場合にも補正係数が必要です。

熱交換^器内^で、一般的な座標 $Aから$ $B$ までの $z$ 軸に沿って、2 つの流体 $(1$ と $2と識別され、$ $z$ に沿った温度が $T$ $1$ $($ $z$ $)$ と $T$ $2$ $($ $z$ $)$ である) 間で熱伝達 [ 2 ] が発生していると仮定します。

点 $z$ における局所的な熱交換流束は、温度差に比例する。

q(z)=\alpha (T_{2}(z)-T_{1}(z))=\alpha \;\Delta T(z)

{\begin{aligned}{\frac {d\,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)\\[4pt]{\frac {d\,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)\end{aligned}}

ここで、 $k a 、k b$ $はそれぞれ点A$ および点 $B$ における介在物質の熱伝導率である。これらを合計すると、次のようになる。

ここで $K = k a + k b$ である。

交換される総エネルギーは、 $A$ から $B$ への局所的な熱伝達 $q$ を積分することによって求められます。

Q=D\int _{A}^{B}q(z)dz=\alpha D\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz=\alpha D\int _{A}^{B}\Delta T\,dz,

$B - A$ は明らかにパイプの長さ、つまり $z$ 方向の距離であり、 $D$ は円周であることに注意してください。これらを掛け合わせるとパイプの熱交換面積 $Ar$ が得られ、次の事実を利用します。

Q={\frac {\alpha Ar}{BA}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\displaystyle \int _{A}^{B}\,dz}}

両方の積分において、変数変換をzから $ΔT$ $に$ $行い$ ます。

Q={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}}

$ΔT$ の関係式（式1）を用いると、これは次のようになる $。$

Q={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}

この時点での積分は簡単で、最終的に次の式が得られます。

Q=\alpha \times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln \left({\frac {\Delta T(B)}{\Delta T(A)}}\right)}}

、

そこからLMTDの定義が導き出される。

両流体の温度変化率は温度差に比例すると仮定されてきました。この仮定は、比熱が一定の流体に対しては有効であり、比較的狭い範囲で温度が変化する流体を適切に記述できます。しかし、比熱が変化すると、LMTD法はもはや正確ではなくなります。
LMTD（対数平均温度差）の特殊なケースとして、凝縮器と再沸器が挙げられる。これらの器では、相変化に伴う潜熱がこの仮説の特殊なケースとなる。凝縮器の場合、高温流体の入口温度は高温流体の出口温度と等しくなる。
また、熱伝達係数（ $α$ ）は一定であり、温度の関数ではないと仮定されている。もしそうでない場合、LMTDアプローチの妥当性は再び低下するだろう。
LMTDは定常状態の概念であり、動的解析には使用できません。特に、熱交換器の両側で温度差の符号が短時間異なる過渡現象にLMTDを適用すると、対数関数の引数が負の値になり、これは許容されません。
熱伝達中に相変化は起こらない
運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視する。

関連する量である対数平均圧力差（LMPD）は、希薄溶質を含む静止溶媒の物質移動において、バルクフローの問題を単純化するためにしばしば使用される。