リンデバーグの状態

確率論において、リンデバーグの条件は、中心極限定理(CLT) が独立したランダム変数の列に対して成り立つための十分条件(および特定の条件下では必要条件でもある)である。^{[1] [2] [3]問題のランダム変数が有限}分散を持ち、独立かつ同一に分布することを要求する古典的な CLT とは異なり、リンデバーグの CLT では、有限分散を持ち、リンデバーグの条件を満たし、独立していることのみを要求する。フィンランドの数学者ヤール・ヴァルデマール・リンデバーグにちなんで名付けられた。^[4]

を確率空間とし、 をその空間上で定義された独立な確率変数とする。期待値と分散が存在し有限であると仮定する。また、${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}$${\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}}$${\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}$

この独立した確率変数の列がリンデバーグの条件を満たす場合: ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0}$

すべての に対して、1 _{…}は指示関数であるとき、中心極限定理が成り立ち、すなわち、ランダム変数 ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}}$

分布は標準正規分布に従う確率変数に収束する。${\displaystyle n\to \infty .}$

リンデバーグの条件は十分であるが、一般的には必要ではない（つまり、逆の含意は一般的には成り立たない）。しかし、問題の独立な確率変数の列が

${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ as }}n\to \infty ,}$

すると、リンデバーグの条件は十分かつ必要であり、つまり中心極限定理の結果が成り立つ場合にのみ成立します。

フェラーの定理は、リンデバーグの条件が成り立つことを証明する別の方法として使用できます。^[5]簡単のため、とすると、定理は次のように述べます。 ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=0}$

の場合、は標準正規分布に弱収束し、Lindeberg の条件を満たします。${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0}$${\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}}$${\displaystyle n\rightarrow \infty}$${\displaystyle X_{k}}$

この定理は、背理法による証明を用いて、 に対して中心極限定理が成り立つこと を反証するために使用できます。 この手順では、 に対して Lindeberg の条件が満たされないことを証明します。 ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k}}$

Lindeberg 条件はを意味するため、の値が十分に大きい場合、任意の個々のランダム変数( ) の分散への寄与が任意に小さくなることを保証します。 ${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle s_{n}^{2}}$${\displaystyle n}$

Lindeberg 条件を満たす次の有益な例を考えてみましょう。は平均 0、分散 1 の iid ランダム変数のシーケンスであり、次を満たす非ランダム シーケンスがあるとします。 ${\displaystyle \xi_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle \max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a\|_{2}}}\rightarrow 0}$$

ここで、線形結合の正規化された要素を定義します。

$${\displaystyle X_{n,i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}}$$

これはリンデバーグ条件を満たす:

$${\displaystyle \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]}$$

しかし、は有限なので、 DCT と の条件により、 ごとに 0 に近づくことがわかります。 ${\displaystyle \xi_{i}^{2}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \epsilon }$

• リャプノフ条件
• 中心極限定理