リルの方法

数学において、リル法は、任意の次数の単変数多項式の実 根を視覚的に求める方法です。^[1]この方法は、1867 年にオーストリアのエンジニアであるエドゥアルト・リルによって開発されました。 ^{[2]リルはその後、}複素根の問題を論文で取り上げました。 ^[3]

Lill の方法では、長さが多項式の係数に等しい、直角をなす直線セグメントのパスを描きます。多項式の根は、始点と終点を結ぶ他の直角パスの傾きとして求められますが、頂点は最初のパスの線上にあります。

この方法を使用するには、原点から始めて図を描きます。線分は、最初の係数 (最も高いべき乗の項の係数) の大きさだけ右に描かれます (したがって、負の係数の場合、線分は原点の左で終わります)。最初の線分の終わりから、別の線分が 2 番目の係数の大きさだけ上向きに描かれ、次に 3 番目の係数の大きさだけ左に描かれ、4 番目の係数の大きさだけ下向きに描かれ、以下同様に続きます。方向の順序 (回転ではありません) は常に右向き、上向き、左向き、下向きで、その後、同じ順序で繰り返されます。したがって、各回転は反時計回りです。このプロセスは、ゼロを含む多項式のすべての係数に対して継続され、負の係数は「逆方向に」進みます。方程式の定数項に対応する線分の終わりにある最終ポイントが、終点です。

次に、直線が原点から角度θで発射され、各線分から直角に反射され (必ずしも「自然な」反射角ではない)、角度のついた経路が線分に当たらない場合は、各線分 (ゼロ係数の線を含む) を通る直線で直角に屈折します。[ ^4]垂直線と水平線は、次の順序で反射または屈折します。係数に対応する線分を含む線、次になどです。経路が終点に到達するようにθ を選択すると、 θの正接の負がこの多項式の根になります。多項式の実数ゼロごとに、終点に到達する一意の初期角度と経路が 1 つあります。たとえば、2 つの実数根を持つ二次方程式には、上記の条件を満たす角度が 2 つあります。 ${\displaystyle x^{n-1},}$${\displaystyle x^{n-2},}$

複素根の場合も、相似三角形の連続を見つける必要がありますが、根の経路の頂点は多項式経路から根の虚数部に等しい距離だけずれている必要があります。この場合、根の経路は長方形にはなりません。^{[5] [3]}

この構築は、実際にはホーナー法に従って多項式を評価します。多項式の場合、、、の値は、多項式の頂点と根のパス間の距離として連続的に生成されます。多項式の根の場合、最終値はゼロなので、最後の頂点は多項式パスの終端と一致します。 ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots }$${\displaystyle a_{n}x}$${\displaystyle (a_{n}x+a_{n-1})x}$${\displaystyle ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x,\ \dots }$

根を与える解線は、その根を取り除いた多項式のリルの構成に似ています。これは、視覚的な構成が、線形（根）モニック（ルフィニの規則）による多項式の合成除算に類似しているためです。

図の対称性から、逆多項式の根は元の根の 逆数であることが容易にわかります。

構築は、反時計回りの回転ではなく時計回りの回転を使用して行うこともできます。パスが他の規則を使用して解釈される場合、それは鏡像多項式（すべての奇数係数の符号が変更される）に対応し、根は否定されます。

直角の経路を同じ方向の規則で反対方向に横断すると、それは反転した鏡映多項式に対応し、根は元の根の負の逆数になります。^[4]

リルの方法はタレスの定理と組み合わせて使用​​して、二次多項式の実根を求めることができます。

3 x ² +5 x −2のこの例では、多項式の線分は、上記のように最初に黒で描画されます。開始点と終了点を結んだ直線部分が直径を形成する円が描画されます。

タレスの定理によれば、これらの点と円上の他の任意の点を含む三角形は直角三角形です。この円とリル法の中間線分（必要に応じて延長）の交点は、リル法の青と赤の 2 つの角度付きパスを定義します。

最初の線分の勾配の負の値mは、実根 1/3 と −2 になります。

1936年、マルゲリータ・ピアソラ・ベロチは、リルの方法を応用して紙を折ることによって三次方程式を解く方法を示した。^[6]同時折りが許されれば、実根を持つn次方程式はn –2回の同時折りを使って解くことができる。^[7]

^{3x 3} +2x ² −7x+2の例では、まず多項式の線分が紙 (黒) に描かれます。2 番目と 3 番目の線分のそれぞれ始点と終点の反射を通る線 (薄い円と四角形) と、それらに平行な線 (灰色の線) が描かれます。

各根について、紙は始点 (黒い円) と終点 (黒い四角) がこれらの線に反映されるまで折り曲げられます。反映の軸 (一点鎖線) は、根 (青、紫、赤) に対応する角度の付いたパスを定義します。最初の線分の勾配の負の値mは、実根 1/3、1、-2 を生成します。

• カーライル円は、ノルム二次関数に対するリル法のわずかに修正されたバージョンに基づいています。

ウィキメディア・コモンズには、リル法に関連するメディアがあります。

• リルメソッドのアニメーション
• Mathologer ビデオ:「レーザーでカメを撃って方程式を解く」