レヴァンドフスキ、クロヴィカ、ジョーの分布

レヴァンドフスキ、クロヴィカ、ジョーの分布

表記	${\displaystyle \operatorname {LKJ} (\eta )}$
パラメータ	${\displaystyle \eta \in (0,\infty )}$ （形）
サポート	${\displaystyle \mathbf {R} }$は単位対角の正定値行列である
平均	単位行列

確率論とベイズ統計学において、レワンドフスキー・クロヴィッカ・ジョー分布（Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution 、 LKJ分布とも呼ばれる）は、単位対角を持つ正定値対称行列上の確率分布である。^[1]

LKJ分布は、2009年にダニエル・レワンドフスキ、ドロタ・クロウィッカ、ハリー・ジョーによってより一般的な文脈で初めて導入されました^[2] 。これは、制約付き高次元確率分布へのアプローチである ブドウコピュラの一例です。

この分布は単一の形状パラメータを持ち、行列の確率密度関数は ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle d\times d}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle p(\mathbf {R} ;\eta )=C\times [\det(\mathbf {R} )]^{\eta -1}}$

正規化定数 を用いると、ベータ関数の積を含む複雑な式になります。 の場合、分布はすべての相関行列の空間、つまり単位対角を持つ正定値行列の空間にわたって一様になります。 ${\displaystyle C=2^{\sum _{k=1}^{d}(2\eta -2+dk)(dk)}\prod _{k=1}^{d-1}\left[B\left(\eta +(dk-1)/2,\eta +(dk-1)/2\right)\right]^{dk}}$${\displaystyle \eta =1}$

LKJ分布は、ベイズ階層モデリングにおける相関行列の事前分布としてよく使用されます。ベイズ階層モデリングでは、データの共分散構造を推論しようとすることが多く、これはスケールベクトルと相関行列に分解できます。^[3]逆ウィシャート分布などの共分散行列の事前分布の代わりに、LKJ分布は、スケールベクトルの適切な事前分布とともに、相関行列の事前分布として機能することができます。これは、 StanやPyMCを含むいくつかの確率プログラミング言語で実装されています。

• Stanマニュアルの一部として説明されている
• ディストリビューションエクスプローラー