リー・カーターモデル

リー・カーターモデルは、死亡率予測および平均余命予測に使用される数値アルゴリズムです。^{[ 1 ]} モデルへの入力は、通常、年齢が列、年が行となる、時間に対して単調に並べられた年齢別死亡率のマトリックスです。出力は、入力と同じ形式の予測死亡率マトリックスです。

このモデルは特異値分解（SVD）を用いて以下を求めます。

• 単変量時系列ベクトル$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$死亡率の傾向の 80～90% を捉えている (ここでは添え字は${\displaystyle t}$（時間を指す）
• ベクトル${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$各年齢における相対死亡率を表す（ここでは添え字は${\displaystyle x}$年齢を指し、
• スケーリング定数（ここでは$s1$しかし文献には名前が記載されていない。

$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$通常は線形であり、これはほとんどの集団において平均寿命の伸びが毎年ほぼ一定であることを意味します。SVDを計算する前に、年齢別死亡率はまず次のように変換されます。$\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$対数を取ってから、時間経過に伴う年齢別平均値を差し引いて中心化します。時間経過に伴う年齢別平均値は、で表されます。$\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$下付き文字${\displaystyle x,t}$これは、$\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$年齢と時間の両方を包含する。

多くの研究者は$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$ベクトルを各年の経験的平均余命に適合させることにより、$\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$そして${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$SVDで生成。このアプローチを使用して調整すると、$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$通常は小さい。

死亡率を予測するために、$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$（調整済みか否かにかかわらず）は投影される${\displaystyle n}$ARIMAモデルを使用して将来の年を予測します。対応する予測${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t+n}}$乗算によって回復される$\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$による${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$そしてSの最初の対角要素（${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}$)実際の死亡率は、このベクトルの指数関数を取ることによって求められます。

線形性のため$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$一般的には、傾向を伴うランダムウォークとしてモデル化されます。この予測行列から平均値を加算し、指数関数を用いて通常の死亡率を算出することで、平均余命やその他の生命表指標を計算できます。

ほとんどの実装では、モンテカルロ法を用いて複数の死亡率予測をシミュレーションすることで、予測の信頼区間が生成されます。シミュレーション結果の5%から95%パーセンタイルの間の死亡率の範囲が、有効な予測とみなされます。これらのシミュレーションは、拡張することによって実行されます。$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$標準誤差に基づくランダム化を使用して将来に$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$入力データから導出される。

このアルゴリズムは、以下の式に対する最小二乗解を求めることを目的としています。

${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})}=\mathbf {a} _{x}+\mathbf {b} _{x}\mathbf {k} _{t}+\epsilon _{x,t}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t}}$は各年齢の死亡率のマトリックスです。${\displaystyle x}$毎年${\displaystyle t}$。

1. 計算する$\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$これは時間の経過に伴う平均です${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}$各年齢について：

   ${\displaystyle \mathbf {a} _{x}={\frac {\sum _{t=1}^{T}{\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}}{T}}}$

2. 計算する$\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$これはSVDで使用されます。

   $\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}=\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}-\mathbf {a} _{x}}$

3. の特異値分解を計算する$\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$:

   ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}$

4. 導出する${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$、$s1$（スケーリング固有値）および$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$から${\displaystyle \mathbf {U} }$、${\displaystyle \mathbf {S} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$:

   ${\displaystyle \mathbf {b} _{x}=(u_{1,1},u_{2,1},...,u_{x,1})}$

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t}=(v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,t})}$

5. 予報$\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$標準的な単変量ARIMAモデルを使用して${\displaystyle n}$追加年数：

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}={\text{ARIMA}}(\mathbf {k} _{t},n)}$

6. 予測を使用する${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$オリジナルと共に${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$、 そして${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$各年齢層の予測死亡率を計算するには：

   ${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t+n}=\exp(\mathbf {a} _{x}+s_{1}\mathbf {k} _{t+n}\mathbf {b} _{x})}$

SVDやその他の次元削減手法を適用しない場合、死亡率データの表は相関性の高い多変量データ系列となり、これらの多次元時系列の複雑さゆえに予測が困難になります。SVDは、 Googleのページランクアルゴリズムをはじめ、さまざまな分野で次元削減手法として広く利用されています。

リー・カーターモデルは、 1992年にロナルド・D・リーとローレンス・カーターによって「米国の死亡率のモデリングと予測」という論文で発表されました。^{[ 2 ]}このモデルは、1980年代後半から1990年代初頭にかけて、逆投影法を用いて過去の人口統計における死亡率を推定しようとした彼らの研究から発展したものです。^{[ 3 ]}このモデルは、米国社会保障局、米国国勢調査局、国連などで使用されています。現在では、世界で最も広く使用されている死亡率予測手法となっています。^{[ 4 ]}

リー・カーターモデルには拡張版がいくつかあり、特に欠落年、相関関係にある男女集団、そして死亡率の共通性を持つ集団（例えば西ヨーロッパ）における大規模な一貫性を考慮するための拡張版が挙げられます。関連する論文の多くは、ロナルド・リー教授のウェブサイトで閲覧できます。

リー・カーターモデルを用いた予測のためのソフトウェアパッケージは少ない。

• LCFIT（ 2022年4月18日にWayback Machineにアーカイブ済み）は、インタラクティブなフォームを備えたウェブベースのパッケージです。
• ロブ・J・ハインドマン教授は、人口統計学のためのRパッケージを提供しており、その中にはリー・カーターモデルの作成と予測を行うためのルーチンが含まれている。
• R における代替案としては、Villegas、Millossovich、Kaishev (2015) によるStMoMo パッケージがある。
• ジャーマン・ロドリゲス教授は、Stataを用いたリー・カーターモデルのコードを提供しています。
• エリック・ジョンデュー教授とマイケル・ロッキンガー教授は、 MATLABを用いて、パラメータ推定のための長寿ツールボックスを作成した。