ラム・ディッケ政権

イオントラッピングや原子物理学の実験において、ラム・ディッケ領域（またはラム・ディッケ限界）は、イオンまたは原子の内部量子ビット状態とその運動状態との間の結合（外部光場によって誘導される）が十分に小さく、運動量子数を 1 以上変化させる遷移が強く抑制される量子領域です。

この条件は不等式によって定量的に表現される。

${\displaystyle \eta^{2}(2n+1)\ll 1,}$

ここで、はラム・ディッケパラメータであり、はイオンまたは原子の調和振動子状態の運動量子数です。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle n}$

イオントラップの静的捕捉ポテンシャルの方向に沿ったイオンの運動（軸方向の運動）を考えると、捕捉ポテンシャルは平衡位置の周りの2次関数として有効に近似でき、イオンの運動は局所的には量子調和振動子固有状態を持つ量子調和振動子^[1]の運動とみなすことができます。この場合、位置演算子は次のように与えられます 。${\displaystyle z}$${\displaystyle |n\rangle}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\hat {z}}=z_{0}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger })。}$

どこ

${\displaystyle z_{0}={\sqrt {\langle 0\vert z^{2}\vert 0\rangle }}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{z}}} }}$

は零点波動関数の広がり、は-方向の静的調和トラッピングポテンシャルの周波数、は調和振動子の ラダー演算子である。ラム・ディッケ領域は、次の条件に対応する。${\displaystyle \omega_{z}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\sqrt {\langle \Psi _{\rm {モーション}}\vert k_{z}^{2}z^{2}\vert \Psi _{\rm {モーション}}}\rangle \ll1}$

ここで、はイオンの波動関数の運動部分であり、（ここではz方向の単位ベクトル）はイオンに作用する光場の波動ベクトルの-方向への投影です。 ${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {motion}}\vert }$${\displaystyle k_{z}=\mathbf {k} \cdot {\hat {z}}=|\mathbf {k} |\cos \theta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\cos \シータ }$${\displaystyle {\hat {z}}}$${\displaystyle z}$

ラム・ディッケパラメータは実際には次のように定義される。

${\displaystyle \eta =k_{z}z_{0}.}$

運動量を持つ光子の吸収または放出により、イオンの運動エネルギーは反跳エネルギーの量だけ変化する 。反跳周波数の定義は ${\displaystyle \hbar k_{z}}$${\displaystyle E_{\rm {R}}=\hbar \omega _{\rm {R}}}$

${\displaystyle \omega _{\rm {R}}={\frac {\hbar k_{z}^{2}}{2m}}.}$

ラム・ディッケパラメータの2乗は次のように表される。

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\omega _{\rm {R}}}{\omega _{z}}}={\frac {\mathrm {運動エネルギーの変化} }{\mathrm {HO の量子化されたエネルギー間隔} }}.}$

したがって、ラム・ディッケパラメータは、イオンの内部状態と運動状態の間の結合強度を定量化します。ラム・ディッケパラメータが 1 よりはるかに小さい場合、調和振動子の量子化エネルギー間隔は反跳エネルギーよりも大きくなり、イオンの運動状態を変える遷移は無視できます。ラム・ディッケパラメータが小さいことはラム・ディッケ状態にとって必要条件ですが、十分な条件ではありません。 ${\displaystyle \eta}$

イオントラッピング実験では、レーザー場はイオンの内部状態と運動状態を結合するために使用される。光子の吸収または放出時のイオンの機械的反動は、演算子によって記述される。^[2]これらの演算子は、レーザー光子の吸収（+）または放出（-）の量だけ原子運動量の変位を引き起こす。調和振動子の固有状態に基づいて、遷移の確率はフランク・コンドン係数によって与えられる。 ${\displaystyle \exp(\pm ik_{z}z)}$${\displaystyle \pm \hbar k_{z}}$${\displaystyle \{\vert n\rangle \}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$${\displaystyle \vert n\rangle \rightarrow \vert n^{\prime }\rangle }$

${\displaystyle F_{n\rightarrow n^{\prime }}=\langle n^{\prime }\vert \exp(ik_{z}z)\vert n\rangle =\langle n^{\prime }\ vert \exp(i\eta ({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }))\vert n\rangle .}$

ラム・ディッケ領域の条件が満たされれば、テイラー展開が可能となり、

${\displaystyle \exp(i\eta ({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }))=1+i\eta ({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger })+O(\eta ^{2}).}$

ラダー演算子は、およびの規則に従って 状態に作用します。 が小さい場合、項は無視できるため、項は として近似できます 。 であるため、 でない限りこの式は消え、運動量子数を1 以上 変更する運動状態間の遷移は強く抑制されることが容易にわかります。${\displaystyle \vert n\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle O(\eta ^{2})}$${\displaystyle \exp(ik_{z}z)\vert n\rangle }$${\displaystyle |n\rangle +i\eta {\sqrt {n+1}}|n+1\rangle +i\eta {\sqrt {n}}|n-1\rangle }$${\displaystyle \langle n^{\prime }|n\rangle =0}$${\displaystyle n^{\prime }=n}$${\displaystyle n^{\prime }\in \{n,n+1,n-1\}}$${\displaystyle n}$

ラム・ディッケ領域では、自発的崩壊は主に量子ビットの内部遷移の周波数 (キャリア周波数) で発生するため、ほとんどの場合イオンの運動状態に影響を与えません。これは、分解サイドバンド冷却が効率的に機能するために必要な要件です。

ラム・ディッケ状態に到達することは、イオンに対してコヒーレント操作を実行するために使用される多くの方式の要件です。したがって、これらの方法でエンタングルメントを作成するために、イオンの温度の上限が設定されます。レーザーパルスによるイオンの操作中、イオンはレーザー冷却できません。したがって、エンタングルメントを作成する操作プロセス全体を通じて、イオンがラム・ディッケ状態のままになるような温度まで最初に冷却する必要があります。

• レーザー冷却
• 解決されたサイドバンド冷却