クレーナーの定理

数学において、クレナーの定理は、有限次元制御システムの到達可能集合の位相的性質に関する幾何制御理論におけるアーサー・J・クレナーの結果である。これは、括弧生成システムの任意の到達可能集合は空でない内部空間を持つ、または同等に、任意の到達可能集合は対応する軌道の位相において空でない内部空間を持つ、ということを述べている。経験的に、クレナーの定理は、到達可能集合が複雑になることを禁じている。

が滑らかな制御システムであると します 。ここで、 は 有限次元多様体に属し、制御セットに属します。ベクトル場の族を考えます。 ${\displaystyle {\}{\dot{q}}=f(q,u)}$${\displaystyle {\q}}$${\displaystyle \M}$${\displaystyle \u}$${\displaystyle \U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$

をベクトル場 のリー括弧に関して によって生成されるリー代数とします。が与えられ、ベクトル空間が に等しい場合、 はからの到達可能集合 の内部の閉包に属します。 ${\displaystyle \ \mathrm {嘘} \,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \q\inM}$${\displaystyle \ \mathrm {嘘} _{q}\,{\mathcal {F}}=\{g(q)\mid g\in \mathrm {嘘} \,{\mathcal {F}}\} }$${\displaystyle \T_{q}M}$${\displaystyle \q}$${\displaystyle \q}$

が と異なる場合でも、 からの達成可能集合は軌道位相において空でない内部を持ちます。これは、 を通る軌道に制限された制御システムに適用されたクレナーの定理から導かれます。 ${\displaystyle \mathrm {嘘} _{q}\,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \T_{q}M}$${\displaystyle \q}$${\displaystyle \q}$

内のすべてのベクトル場が解析的である場合、 が からの到達可能集合の内部の閉包に属するのは、 の場合のみであり、これはクレナーの定理と軌道定理の結果である。 ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \\mathrm {Lie}_{q}\,{\mathcal{F}}=T_{q}M}$ ${\displaystyle \q}$${\displaystyle \q}$

クレナーの定理の系として、システムがブラケット生成であり、 から到達可能な集合がにおいて稠密である場合、 から到達可能な集合は 実際には に等しいことが証明できます。 ${\displaystyle \q\inM}$${\displaystyle \M}$${\displaystyle \q}$${\displaystyle \M}$

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