クラムコフの任意分解定理

確率論において 、クラムコフの任意分解定理（または単に任意分解定理）は、正のスーパーマルチンゲールを 同値なマルチンゲール測度の族に関して次の形式に 分解することに関する数学的定理である。${\displaystyle V}$

${\displaystyle V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0,}$

ここで、 は適応された（またはオプションの）プロセス です。${\displaystyle C}$

この定理は金融数学にとって特に興味深いもので、その解釈は次のようになります:はトレーダーの富のプロセス、は利益/損失、 は消費のプロセスです。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle (H\cdot X)}$${\displaystyle C}$

この定理は1994年にロシアの数学者ドミトリー・クラムコフによって証明されました。^{[1]この定理は}ドゥーブ＝マイヤー分解にちなんで名付けられましたが、ドゥーブ＝マイヤー分解とは異なり、プロセスはもはや予測可能ではなく、適応されるだけです（これは、ステートメントの条件下では、オプションのプロセスを扱うことと同じです）。 ${\displaystyle C}$

通常の条件を満たすフィルタリングを備えたフィルタリングされた確率空間を とします。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\{{\mathcal {F}}_{t}\},P)}$

およびに対してかつである場合にほぼ確実に となる停止時間のシーケンスが存在する場合、次元プロセスは局所的に有界です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{d})}$ ${\displaystyle (\tau _{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle \tau _{n}\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |X_{t}^{i}|\leq n}$${\displaystyle 1\leq i\leq d}$${\displaystyle t\leq \tau _{n}}$

を、局所的に有界な次元càdlàg (または RCLL) 過程とします。 をと同等の局所マルチンゲール測度の空間とし、一般性を失うことなく と仮定します。 ${\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{d})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M(X)\neq \emptyset }$${\displaystyle X}$${\displaystyle P\in M(X)}$

を正の確率過程とすると、それぞれに対して が-スーパーマルチンゲールとなるのは、 - 積分可能かつ予測可能な過程と、適応増加過程が存在し、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q\in M(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0.}$^{[2] [3]}

この記述は、測定値を同等の測定値に変更した場合でも当てはまります。