運動学スキーム

物理学、化学、および関連分野において、運動論的スキームは、動的プロセスを表す状態と状態間の接続のネットワークです。通常、運動論的スキームはマルコフ過程を表しますが、非マルコフ過程の場合は一般化された運動論的スキームが使用されます。図 1 は、運動論的スキームを示しています。

運動図は、異なる状態のネットワーク（有向グラフ）です（ただし、状態の繰り返しが発生する可能性があり、これはシステムによって異なります）。ここで、状態iとjの各ペアは、方向速度、（および）に関連付けられています。これは、マスター方程式、つまり、システムが時刻tに各状態を占める確率に関する1 次微分方程式で記述されます（要素i は状態i を表します）。行列形式で記述すると、 となります。ここで、 は接続（速度） の行列です。 ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle A_{ji}}$ ${\displaystyle {\vec {P}}}$${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {P}}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle A_{ij}}$

マルコフ運動論的スキームでは、接続は時間に対して一定です (状態iのジャンプ時間確率密度関数は指数関数であり、その速度は存在するすべての接続の値に等しくなります)。

システムに詳細なバランスが存在する場合、関係はすべての接続された状態iとjに対して成立します。結果は、平衡状態にあるマルコフネットワークのどの閉ループにも正味フローがないという事実を表しています。 ${\displaystyle A_{ji}P_{i}(t\rightarrow \infty )=A_{ij}P_{j}(t\rightarrow \infty )}$

行列は誕生と死を表すこともできます。つまり、確率がシステムに注入される (誕生) か、システムから取り除かれる (死) ことを意味し、その場合、プロセスは平衡状態にありません。これらの用語は、単純に線形運動スキームが存在する誕生 - 死のプロセスとは異なります。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

• 誕生と死のプロセスは、線形の 1 次元マルコフ運動スキームです。
• ミカエリス・メンテン反応速度論は、反応経路における中間体の生成について定常状態を仮定して解かれるマルコフ反応速度論スキームの一種です。

• 時間依存の速度を持つ運動スキーム: 接続が実際の時間に依存する場合 (つまり、行列が時間に依存する場合、)、プロセスはマルコフ的ではなく、マスター方程式は に従います。時間依存の速度の理由は、たとえば、マルコフ運動スキームに時間依存の外部フィールドが適用された場合です (したがって、プロセスはマルコフ的ではありません)。${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)}$${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} (t){\vec {P}}}$
• 半マルコフ運動スキーム: 接続が多重指数ジャンプ時間確率密度関数を表す場合、プロセスは半マルコフであり、運動方程式は一般化マスター方程式と呼ばれる積分微分方程式です。${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\int _{0}^{t}\mathbf {A} (t-\tau ){\vec {P}}( \タウ )d\タウ }$

このようなプロセスの例としては、次元を縮小した形式が挙げられます。

• フォッカー・プランク方程式: 運動論的スキームのマスター方程式を連続空間座標で展開すると、フォッカー・プランク方程式が得られます。

• マルコフ過程
• 連続時間マルコフ過程
• マスター方程式
• 詳細なバランス
• グラフ理論
• 半マルコフ過程
• 状態遷移システム

• ファン・カンペン、NG（1981）。物理学と化学における確率過程。北ホラント。ISBN 978-0-444-52965-7。
• Erhan Cinlar (1975)。確率過程入門。Prentice Hall Inc、New Jesry。ISBN 978-0-486-49797-6。
• Risken、H. (1984)。フォッカー・プランク方程式。スプリンガー。ISBN 3-540-61530-X。