ジャンプライン

数学において、射影空間上のベクトル束の跳躍直線または例外直線は、ベクトル束が例外的な動作、言い換えれば、その線への制限の構造が「跳躍」する射影空間内の射影直線である。跳躍直線は、1961年にRLEシュワルツェンベルガーによって導入された。 ^{[1] [2]}ベクトル束の跳躍直線は、射影空間のすべての直線の グラスマン多様体の適切な閉部分集合を形成する。

バーコフ・グロタンディークの定理は、射影直線上のn次元ベクトル束を、順序付けられていないn個の整数組に対応するものとして分類します。この現象は、より高次元の射影空間には一般化できません。つまり、任意の束を、同語的束のホイットニーのべき乗和、または実際のところ一般の直線束 のホイットニーのべき乗和で分解することはできません。それでも、次の方法を使用することで、このタイプの情報を得ることができます。 、 上の束が与えられた場合、内の直線、または同等の 2 次元部分空間を取ることができます。これは、に埋め込まれた多様体と同等な多様体を形成するため、を に制限することができ、バーコフ・グロタンディークの定理により、同語的束 のべき乗和として分解されます。この分割によって指定される一意の整数組は、直線の「一般的な」選択に対して同じであることが示されます。より技術的に言えば、 の直線のグラスマン多様体の空でない開部分多様体が存在し、同じタイプの分解を持ちます。分解がこの一般的なタイプと異なる直線は、「ジャンピング ライン」と呼ばれます。バンドルが直線に沿って一般的に自明である場合、ジャンピング ラインはまさに、制限が自明でない直線です。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

V が非退化の歪対称形式を持つ 4 次元複素ベクトル空間であるとします。 Vに関連付けられた 3 次元複素射影空間上に階数 2 のベクトル束があり、これはVの各直線Lに2 次元ベクトル空間L ^⊥ / Lを割り当てます。すると、 Vの平面がこのベクトル束のジャンプ直線に対応するのは、歪対称形式に対して等方性である場合に限ります。

• 村瀬元彦 (1979)、「インスタントンの極と P³ 上の代数的ベクトル束のジャンピングライン」、日本学士院。プロシーディングス。シリーズ A。数学、55 (5): 185–189、doi :10.3792/pjaa.55.185、ISSN  0386-2194、MR  0533544