ジェンセン階層

数学の一分野である集合論において、ジェンセン階層またはJ 階層は、ゲーデルの構成可能階層Lの修正版であり、構成可能階層に存在する特定の技術的困難を回避します。J 階層は、ジェンセン階層の名称の由来となった ロナルド ジェンセンが開拓した微細構造理論において重要な役割を果たします。基本的な関数は、ジェンセン階層を反復処理する方法を記述します。

Lの定義と同様に、Def( X )をX上のパラメータで定義可能な集合の集合とします 。

${\displaystyle {\textrm {Def}}(X):=\{\{y\in X\mid \Phi (y,z_{1},...,z_{n}){\text{ は }}(X,\in ) において真である\}\mid \Phi {\text{ は一階の式である}},z_{1},...,z_{n}\in X\}}$

構築可能な階層は、超限再帰によって定義されます。特に、後続順序数では、です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\alpha +1}={\textrm {Def}}(L_{\alpha })}$

この構成の難しさは、各レベルが順序付けられていないペアの形成に対して閉じていないことです。与えられた に対して、集合はのサブセットではないため、の要素にはなりません。 ${\displaystyle x,y\in L_{\alpha +1}\setminus L_{\alpha }}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle L_{\alpha +1}}$${\displaystyle L_{\alpha}}$

しかし、Σ0分離の下で閉じているという望ましい性質を持っています_。 [ ^1]${\displaystyle L_{\alpha}}$

Jensen による L 階層の修正では、この特性と、 というやや弱い条件が保持されますが、ペアリングに関しても閉じています。重要な手法は、 上の遺伝的に定義可能な集合をコードでエンコードすることです。すると、 にはコードが にあるすべての集合が含まれます。 ${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\textrm {Def}}(J_{\alpha })}$${\displaystyle J_{\alpha}}$${\displaystyle J_{\alpha +1}}$${\displaystyle J_{\alpha}}$

と同様に、は再帰的に定義されます。各順序数 に対して、 を の普遍述語として定義します。 遺伝的に定義可能な集合を、としてエンコードします。次に を設定し、最後に とします。 ${\displaystyle L_{\alpha}}$${\displaystyle J_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle W_{n}^{\alpha }}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle J_{\alpha}}$${\displaystyle X_{\alpha }(n+1,e)=\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f)\}}$${\displaystyle X_{\alpha }(0,e)=e}$${\displaystyle J_{\alpha ,n}:=\{X_{\alpha }(n,e)\mid e\in J_{\alpha }\}}$${\displaystyle J_{\alpha +1}:=\bigcup _{n\in \omega }J_{\alpha ,n}}$

各サブレベルJ _{α , n}は推移的で、 ωα  +  n以下のすべての順序数を含む。サブレベルのシーケンスはnに関して厳密に⊆増加である 。なぜなら、 Σ _m述語は任意のn  >  mに対してΣ _nでもあるからである。レベルJ _{α は}したがって推移的で厳密に⊆増加であり、ペアリング、 -理解、推移閉包に関して閉じている。さらに、それらは以下の性質を持つ。 ${\displaystyle \Delta _{0}}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\text{Def}}(J_{\alpha }),}$

必要に応じて。（またはもう少し一般的には、。^[2]） ${\displaystyle L_{\omega +\alpha }=J_{1+\alpha }\cap V_{\omega +\alpha }}$

レベルとサブレベルはそれ自体が Σ _{1一様定義可能であり（つまり、} J _α、J _βにおける_nの定義はβに依存しない ）、一様 Σ ₁整列性を持つ。また、ジェンセン階層のレベルは、ゲーデルの元の階層のレベルと同様に、 凝縮補題を満たす。

任意の に対して、上の任意の関係を考えると、その関係に対するスコーレム関数が存在し、それ自体は式によって定義可能です。^[3]${\displaystyle J_{\alpha}}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle J_{\alpha}}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$

基本関数は、V ⁿ →V関数（つまり、集合を引数として受け取る有限関数）であり、次の操作から得られる：^[2]

• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _{i は}基本的なものです（投影関数を参照）
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = { x _i , x _j } は初歩的なものである
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i − x _jは初歩的なものである
• 基本的な機能の組み合わせはどれも基本的なものである
• ∪ _{z ∈ y} G ( z , x ₁ , x ₂ , ...) は初歩的であり、G は初歩的な関数である。

任意の集合Mに対して、 rud( M )_をM∪ { M }を含む最小の集合とし、初等関数で閉じたものとする。このとき、ジェンセン階層はJα ₊₁ =rud( Jα )を満たす。^[2]

ジェンセンは、の射影を、 がすべての に対して従順である最大のものとして定義し、の射影も同様に定義される。微細構造理論の主な結果の1つは、のすべての部分集合が（ α再帰理論の用語で） -有限ではない最大のものであるということである。^[2]${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta \leq \alpha }$${\displaystyle (J_{\beta },A)}$${\displaystyle A\in \Sigma _{n}(J_{\alpha })\cap {\mathcal {P}}(J_{\beta })}$${\displaystyle \Delta _{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Sigma _{n}(J_{\alpha })}$${\displaystyle \omega \gamma }$${\displaystyle \alpha}$

ラーマンは、のすべての部分集合が-有限とは限らないような最大のものをの射影と定義する。ここで集合 は、が-再帰的であるように表現できる関数の像である場合に となる。ジェンセン風の特徴付けでは、の射影は、から上への同型が存在するような最大のものである。射影がである順序数が存在するが、その射影はすべての自然な に対して となる。^[4]${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \lim _{y_{1}}\lim _{y_{2}}\ldots \lim _{y_{n}}g(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta \leq \alpha }$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \Delta _{3}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle n}$

• Sy Friedman (2000) Fine Structure and Class Forcing、Walter de Gruyter、 ISBN  3-11-016777-8