円周多角形に関する日本の定理

緑の円の半径の合計は、赤い円の半径の合計に等しい。

逆に、内接円の半径の合計が三角形分割に依存しない場合、多角形は巡回多角形になります。日本の定理はカルノーの定理から導かれ、算数の問題です。

証拠

この定理は、まず特別なケースを証明することによって証明できます。つまり、循環四辺形をどのように三角形に分割しても、三角形の内接半径の合計は一定であるということです。

四辺形の場合を証明した後、循環多角形定理の一般の場合が直ちに帰結します。四辺形ルールは、循環多角形の一般分割の四辺形コンポーネントに適用でき、1 つの対角線を「反転」するルールを繰り返し適用すると、任意の分割からすべての可能な分割が生成され、各「反転」で内接円の和が維持されます。

四辺形の場合は、日本の巡回四辺形定理の単純な拡張から導かれ、四辺形の2つの可能な三角形分割に対応する2組の内心によって長方形が形成されることを示しています。この定理の手順には、基本的な構成的ユークリッド幾何学以上のものは必要ありません。^[2]

対角線に平行で、内心の長方形の角に接する辺を持つ平行四辺形を追加構築することで、巡回多角形定理の四辺形の場合を数ステップで証明できます。2 組の半径の合計が等しいことは、構築された平行四辺形が菱形であるという条件に相当し、これは構築時に簡単に示されます。

四辺形の場合の別の証明は、ウィルフレッド・レイエス（2002）によるものである。^[3]この証明では、巡回四辺形に対する日本の定理と巡回多角形定理の四辺形の場合の両方が、テボーの問題IIIの結果として証明されている。

^ ジョンソン、ロジャー A.、「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー出版、2007年（原著1929年）。
^ 深川秀俊、ペドー・D. (1989)。日本の寺院の幾何学。マニトバ州、カナダ：チャールズ・バベッジ研究センター。pp. 125–128。ISBN 0919611214。
^ Reyes, Wilfred (2002). 「テボーの定理の応用」(PDF) . Forum Geometricorum . 2 : 183–185. 2018年10月24日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015年9月2日閲覧。

クラウディ・アルシーナ、ロジャー・B・ネルセン：数学のアイコン：20の重要な画像の探究。MAA、2011年、ISBN 9780883853528、pp. 121-125
ウィルフレッド・レイエス: テボーの定理の応用 2018-10-24ウェイバックマシンにアーカイブされました。フォーラムジオメトリコルム、第 2 巻、2002 年、pp. 183–185