列挙多項式

符号理論では、2 進線形符号の重み列挙多項式は、可能な各ハミング重みのワード数を指定します 。

を長さの2進線形符号とする。重み分布は数列である。 ${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{t}=\#\{c\in C\mid w(c)=t\}}$

t が0 からnまでの範囲にあるとき、C内の重みtを持つコードワード cの数を与える。重み列挙子は二変量多項式である。

${\displaystyle W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{nw}.}$

1. ${\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1}$
2. ${\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|}$
3. ${\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=1{\mbox{ if }}(1,\ldots ,1)\in C\ {\mbox{ and }}0{\mbox{ else}}}$
4. ${\displaystyle W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{nw}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}}$

の双対コードを次のよう に表す。${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}$

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\langle x,c\rangle =0{\mbox{ }}\forall c\in C\}}$

(ここで はベクトルのドット積を表し、 に引き継がれます)。 ${\displaystyle \langle \ ,\ \rangle }$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

マックウィリアムズ恒等式は、

${\displaystyle W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;yx,y+x).}$

このアイデンティティはジェシー・マクウィリアムズにちなんで名付けられました。

サイズM、長さnのコードCの距離分布または内部分布は、数列である。

${\displaystyle A_{i}={\frac {1}{M}}\#\left\lbrace (c_{1},c_{2})\in C\times C\mid d(c_{1},c_{2})=i\right\rbrace }$

ここで、iは0からnまでの範囲である。距離列挙多項式は

${\displaystyle A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}y^{ni}}$

Cが線形の場合、これは重み列挙子に等しくなります。

Cの外部分布は、行が^GF ( 2 ) ⁿの要素でインデックスされ、列が整数0... nでインデックスされ、エントリが

${\displaystyle B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace .}$

Bの行の合計は、内部分布ベクトル（A ₀、...、A _n ）のM倍です。

コードC のコードワードに対応するBの行がすべて等しい 場合、コードC は正規です。

• ヒル、レイモンド (1986)。符号理論入門。オックスフォード応用数学および計算科学シリーズ。オックスフォード大学出版局。pp. 165–173。ISBN 0-19-853803-0。
• Pless, Vera (1982)。誤り訂正符号理論入門。Wiley -Interscience 離散数学シリーズ。John Wiley & Sons。pp. 103–119。ISBN 0-471-08684-3。
• JH van Lint (1992).コーディング理論入門. GTM . 第86巻（第2版）. Springer-Verlag . ISBN 3-540-54894-7。第3.5章と第4.3章。