ウィルフとツァイルベルガーのペア

数学、特に組み合わせ論において、ウィルフ・ツァイルベルガー対、またはWZ対とは、特定の組み合わせ恒等式を証明するために使用できる関数のペアのことです。WZ対は、ハーバート・S・ウィルフとドロン・ツァイルベルガーにちなんで名付けられ、二項係数、階乗、一般に超幾何級数を含む多くの和の評価に不可欠です。関数のWZ対応物を使用すると、同等でより単純な和を見つけることができます。ほとんどの場合、WZ対を手作業で見つけるのは非現実的ですが、ゴスパーのアルゴリズムは関数のWZ対応物を見つける方法を提供し、記号操作プログラムで実装できます。

2つの関数FとGがWZペアを形成するのは、以下の2つの条件が満たされる場合に限る。

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k),}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.}$

定義から次のことが導かれる。

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

関数Gは望遠鏡のように機能するからです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k),}$

それは

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)={\text{const}}.}$

この定数はnに依存しません。その値は、特定のn _{0に対して}n = n ₀を代入することで求めることができます。

FとGがWZペアを形成する場合、それらは次の関係を満たす。

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1),}$

どこ${\displaystyle R(n,k)}$これはnとkの有理関数であり、 WZ 証明証明書と呼ばれます。

Wilf–Zeilbergerペアを使用して、同一性を検証できます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}={2n \choose n}.}$

恒等式を右辺で割ります。

$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}}=1.}$

証明書を使用する

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}}$

左辺がnに依存しないことを検証するには、

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}},\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

FとGはウィルフ＝ツァイルベルガー対を形成する。

等式の右辺の定数が 1 であることを証明するには、例えばn = 0 を代入します。

• マルコ・ペトコフセク;ハーバート・ウィルフとドロン・ザイルバーガー(1996)。A=B。 AKピーターズ。ISBN 1-56881-063-6。
• Tefera, Akalu (2010)、「ウィルフ＝ツァイルベルガー対とは何か？」(PDF)、AMS Notices、57 ( 4): 508–509。

• アルムクヴィスト・ツァイルベルガー法は、定積分を評価するためのWZ法の類似法である。
• 数学的恒等式の一覧

• ゴスパーのアルゴリズムは、 WZペアが存在する場合にそれを生成する方法を提供する。
• Generatingfunctionologyは、WZ方式による本人確認方法の詳細を提供します。