ヒルベルト・シュミット積分演算子

数学において、ヒルベルト・シュミット積分作用素は積分変換の一種である。具体的には、R ⁿの領域Ωが与えられたとき、任意のk : Ω × Ω → Cに対して、      

${\displaystyle \int _{\Omega }\int _{\Omega }|k(x,y)|^{2}\,dx\,dy<\infty ,}$

これはヒルベルト・シュミット核と呼ばれる。関連する積分演算子T  : L ² ( Ω ) → L ² ( Ω )   は次のように与えられる。

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\オメガ }k(x,y)f(y)\,dy}$

は ヒルベルト・シュミット積分作用素と呼ばれます。^{[ 1 ] [ 2 ]} Tはヒルベルト・シュミットノルムを持つヒルベルト・シュミット作用素です。

${\displaystyle \Vert T\Vert _{\mathrm {HS} }=\Vert k\Vert _{L^{2}}.}$

ヒルベルト・シュミット積分作用素は連続かつコンパクトである。^{[ 3 ]}

ヒルベルト・シュミット積分作用素の概念は、正のボレル測度を備えた任意の局所コンパクトハウスドルフ空間Xに拡張できる。L 2 ( X )^が可分であり、k がL ² ( X × X )に属する場合、作用素T : L ² ( X ) → L ² ( X )は次のように定義される。    

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{X}k(x,y)f(y)\,dy}$

コンパクトです。

${\displaystyle k(x,y)={\overline {k(y,x)}},}$

するとTも自己共役となり、スペクトル定理が適用される。これは、このような演算子の基本的な構成の 1 つです。これは、無限次元ベクトル空間に関する問題を、よく理解されている有限次元固有空間に関する問題に還元することがよくあります。^{[ 4 ]}

• ヒルベルト・シュミット演算子

• レナルディ、マイケル；ロジャース、ロバート C. (2004年1月8日)。偏微分方程式入門。ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 0-387-00444-0。

• バンプ、ダニエル（1998）。『保型形式と表現』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-65818-7。
• Simon, B. (1978). 「厳密な散乱理論の概要」 . S2CID 16913591 .