ヒルベルトの第20の問題

ヒルベルトの第20問題は、1900年にデイヴィッド・ヒルベルトがまとめた有名なリストに記載されている23のヒルベルト問題のうちの1つです。この問題は、すべての境界値問題が解けるかどうか（つまり、特定の境界条件を持つ変分問題に解があるかどうか） を問うものです。

ヒルベルトは、関数の値が境界で与えられる偏微分方程式を解く方法が存在するが、問題は境界上のより複雑な条件（例えば、関数の導関数を含む）を伴う偏微分方程式を解く方法、または1次元を超える変分法の問題（例えば、極小曲面問題や極小曲率問題）を解く方法を求めていることを指摘した。

元の問題の全文は次のとおりです。

前述の問題 [ヒルベルトの第 19 の問題]と密接に関連する重要な問題は、領域の境界上の値が規定されている場合の偏微分方程式の解の存在に関する問題です。この問題は、主に、ポテンシャルの微分方程式に対する HA シュワルツ、C. ノイマン、およびポアンカレの鋭い方法によって解決されます。ただし、これらの方法は、境界に沿って微分係数またはこれらと関数の値の関係が規定されている場合には、一般に直接拡張できないようです。また、ポテンシャル面ではなく、たとえば、最小面積の面、または指定されたねじれ曲線を通過するか、与えられたリング面上に広がる一定の正のガウス曲率の面を検索する場合にも、すぐには拡張できません。これらの存在定理は、その性質がディリクレの原理によって示される一般原理によって証明できると私は確信しています。この一般原理によって、次のような疑問にアプローチできるようになるかもしれません。与えられた境界条件に関する特定の仮定が満たされていれば（これらの境界条件に関係する関数は連続しており、セクションで1つ以上の導関数を持つと仮定する）、また必要に応じて解の概念が適切に拡張されれば、すべての正則変分問題には解が存在するのではないでしょうか？^[1]

微分方程式の分野において、境界値問題は境界条件と呼ばれる一連の追加の制約を伴う微分​​方程式です。境界値問題の解は境界条件も満たす微分方程式の解です。

境界値問題が応用上有用であるためには、適切に設定されている必要があります。これは、問題への入力が与えられた場合、入力に連続的に依存する唯一の解が存在することを意味します。偏微分方程式の分野における多くの理論的研究は、科学および工学の応用から生じる境界値問題が実際には適切に設定されていることを証明することに費やされています。

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• シガロフ、AG（1969）「ヒルベルトの第19問題と第20問題について」、ヒルベルトの問題（ロシア語）、モスクワ：イズダット。「ナウカ」、pp. 204-215、MR  0251611。