ハリシュ・チャンドラの正則性定理

数学において、ハリシュ＝チャンドラ （1963）によって導入されたハリシュ＝チャンドラの正則性定理は、半単純リー群上のすべての不変固有分布、特にヒルベルト空間上の既約ユニタリ表現のすべての指標は、局所積分可能関数によって与えられると述べています。ハリシュ＝チャンドラ（1978、1999）は、半単純p進群に対して同様の定理を証明しました。

ハリシュ・チャンドラ (1955, 1956) は、以前に、不変固有分布は群の正則要素上で解析的であり、これらの要素上では楕円微分方程式の解であるということを示していた。問題は、群の特異要素上に特異点があるかもしれないということである。正則性定理は、これらの特異点がそれほど深刻ではないことを示唆している。

群Gまたはそのリー代数上の超関数は、 Gによる共役に対して不変である場合に不変であると呼ばれます。

群Gまたはそのリー代数上の分布は、それがGの普遍包絡代数の中心の固有ベクトル（ Gの左および右の不変微分作用素と同一視される） である場合に、固有分布と呼ばれます。

ハリシュ・チャンドラの正則性定理は、半単純群またはリー代数上の任意の不変固有分布は局所的に積分可能な関数であると述べている。それが固有分布であるという条件は、普遍包絡代数の中心によるその像が有限次元であるという条件に少し緩和することができる。正則性定理はまた、各カルタン部分代数上で分布がワイル指標公式の分母によく似た関数 Δ で割った指数の有限和として表すことができることも意味している。

ハリシュ＝チャンドラの正則性定理のオリジナルの証明は、一連の 5 つの論文 (ハリシュ＝チャンドラ 1964a、1964b、1964c、1965a、1965b) で示されています。アティヤ (1988) は、SL ₂ ( R ) の場合のハリシュ＝チャンドラの正則性定理の証明の説明を行い、より高階のグループへの一般化を概説しました。

ほとんどの証明は、次のようにいくつかのステップに分けることができます。

• ステップ 1。Θ が不変固有分布である場合、それはGの正規元に対して解析的です。これは、楕円正則性から、普遍包絡代数の中心が、任意の正規軌道に対して「G の軌道に対して楕円横断的な」要素を持つことを示すことによって得られます。
• ステップ 2。Θ が不変固有分布である場合、Gの正規元へのその制限はG上で局所的に積分可能です。(これは、 Gの非正規元の測度が 0 であるため理にかなっています。) これは、各カルタン部分代数上の ΔΘ が指数関数の有限和であることを示すことによって示されます。ここで、 Δ は本質的にワイル分母公式の分母であり、1/Δ は局所的に積分可能です。
• ステップ 3。ステップ 1 と 2 により、不変固有分布 Θ は、 S + Fの和です。ここで、Fは局所的に積分可能な関数であり、S はGの特異元にサポートがあります。問題は、S が消えることを示すことです。これは、 Gの特異元のセットをGの局所的に閉じた部分多様体の和として層化し、層の余次元に対する帰納法を使用することによって行われます。微分方程式の固有関数が、Fが局所的に積分可能で、Sが部分多様体上に特異なサポートを持つS + Fの形式になることは可能ですが、これは微分演算子がいくつかの制限条件を満たす場合にのみ可能です。次に、 Gのカシミール演算子が特異集合の層でこれらの条件を満たさないことを確認できます。これにより、S が消えます。

• アティヤ、マイケル(1988)、「半単純リー群の性格」、全集第 4 巻、オックスフォード科学出版、クラレンドン プレス オックスフォード大学出版局、pp. 491–557、ISBN 978-0-19-853278-1、MR  0951895
• ハリシュ＝チャンドラ（1955）「半単純リー群の性格について」アメリカ数学会誌、61（5）：389–396、doi：10.1090/S0002-9904-1955-09935-X、ISSN  0002-9904、MR  0071715
• Harish-Chandra (1956)、「半単純リー群の指標」、アメリカ数学会誌、83 :98–163、doi : 10.2307/  1992907 、ISSN0002-9947  、JSTOR1992907  、MR0080875
•  Harish-Chandra (1963)、「半単純リー群上の不変固有分布」、アメリカ数学会誌、69 :117–123、doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10889-7、ISSN0002-9904  、MR0145006
• Harish-Chandra (1964a)、「リー代数上の不変分布」、American Journal of Mathematics、86 : 271–309、doi :10.2307/2373165、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373165、MR  0161940
• Harish-Chandra (1964b)、「半単純リー代数上の不変微分作用素と分布」、American Journal of Mathematics、86 :534–564、doi  : 10.2307/2373023、ISSN0002-9327  、JSTOR2373023  、MR0180628
• Harish-Chandra (1964c)、「半単純リー代数上の不変積分に関するいくつかの結果」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、80 : 551–593、doi :10.2307/1970664、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970664、MR  0180629
• Harish-Chandra (1965a)、「半単純リー代数における不変固有分布」、Publications Mathématiques de l'IHÉS (27): 5–54、ISSN  1618-1913、MR  0180630
• Harish-Chandra (1965b)、「半単純リー群上の不変固有分布」、アメリカ数学会誌、119 :457–508、 doi : 10.2307 /1994080、ISSN0002-9947  、JSTOR1994080  、MR0180631
• Harish-Chandra (1978)、「簡約 p 進群上の許容不変分布」、Rossmann, Wulf (編)、『リー理論とその応用 (1977 年カナダ数学会議年次セミナーの議事録、オンタリオ州キングストンのクイーンズ大学、1977 年)』、Queen's Papers in Pure Appl. Math.、第 48 巻、オンタリオ州キングストン: クイーンズ大学、pp. 281–347、MR  0579175、全集第 4 巻に再録。
• Harish-Chandra (1999)、DeBacker、Stephen、Sally、Paul J. Jr. (編)、Admissible invariant distributions on reductionive p-adic groups、University Lecture Series、vol. 16、Providence、RI: American Mathematical Society、ISBN 978-0-8218-2025-4、MR  1702257