ハーディ分布

ハーディディストリビューション

確率質量関数 横軸はホールスコアnを表します。縦軸は、ホールのパーと確率p = 0.20 およびq = 0.10 を与えられた場合のホールスコアnの確率を表します。青い点はパー 3 の確率、緑の点はパー 4 の確率、赤い点はパー 5 の確率を表します。関数はnの整数値でのみ定義されます。接続線は視覚的なガイドにすぎません。
累積分布関数 横軸はホール スコアnを表します。縦軸は、ホールのパーと確率p = 0.20 およびq = 0.10 を前提としたホール スコアnの累積確率を表します。青い点はパー 3 の確率、緑の点はパー 4 の確率、赤い点はパー 5 の確率を表します。累積確率密度 (CDF) はnの整数で不連続になり、それ以外の場所では平坦になります。これは、ハーディ分布に従う変数が整数値のみを取るためです。
表記	${\displaystyle \operatorname {ハーディ} (p,q;m)}$
パラメータ	${\displaystyle p,q\in (0,1)}$、そして${\displaystyle p+q\in (0,1)}$${\displaystyle m=1,2,3,\dots }$
サポート	${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$（1から始まる自然数）
ＰＭＦ	mが奇数の場合: ${\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m+1}{2}}}^{m}{n-1 \choose nj}{q}^{nj}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}$ mが偶数の場合: ${\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose nj}{q}^{nj}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}$ と ${\displaystyle A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,jm-1}{p}^{m-j+1}\left(1-pq\right)^{2\,jm-1}}$ そして ${\displaystyle B_{j,m}\,=\,{j \choose 2\,jm}{p}^{mj}\left(1-pq\right)^{2\,jm}}$
平均	${\displaystyle \,-\,\sum _{j=1}^{m}{\frac {\left(m+1-j\right)\,{p}^{j-1}}{\left(q-1\right)^{j}}}}$
MGF の	mが奇数の場合: ${\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}$ mが偶数の場合: ${\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}$ と ${\displaystyle X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \choose 2\,jm-1}{p}^{m+1-j}\left(1-pq\right)^{2\,jm-1}}$ そして ${\displaystyle Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,jm}{p}^{-j+m}\left(1-pq\right)^{2\,jm}}$

確率論と統計学において、ハーディ分布は、特定のゴルフ プレーヤーのホール スコアの確率を表す離散確率分布です。これは、ショットには次の 3 つの種類があるというハーディ (Hardy、1945) の基本的な仮定に基づいています。

良い、${\displaystyle (G)}$
悪いと${\displaystyle (B)}$
普通、 
${\displaystyle (O)}$

ここで、良いヒットの確率は、悪いヒットの確率は、そして普通のヒットの確率は である。ハーディはさらに次のように定義した。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1-pq}$

良いストロークには2の値が、
0の値はストロークが悪く、
通常のストロークの場合は値が 1 になります。

値の合計がホールのパーの値以上になると、問題のストローク数はそのホールで獲得したスコアに等しくなります。パー 3 でのバーディーは、 、 の 3 つの方法で発生する可能性があり、その確率はそれぞれ、、 です。 ${\displaystyle OG}$${\displaystyle GO}$${\displaystyle GG}$${\displaystyle (1-pq)\,p}$${\displaystyle p\,(1-pq)}$${\displaystyle p^{2}}$

離散確率変数 X は、パラメータを持つハーディ分布に従うと言われ、確率質量関数は次のように表さ れます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m+1}{2}}}^{m}{n-1 \choose nj}{q}^{nj}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}$mが奇数 の場合

そして

${\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose nj}{q}^{nj}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}$mが偶数 の場合

と

${\displaystyle A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,jm-1}{p}^{m-j+1}\left(1-pq\right)^{2\,jm-1}}$

そして

${\displaystyle B_{j,m}\,=\,{j \choose 2\,jm}{p}^{mj}\left(1-pq\right)^{2\,jm}}$

どこ

• mはホールのパーです（）${\displaystyle m=1,2,\ldots }$

• nはゴルフホールスコア（）で、偶数の場合は${\displaystyle n={\frac {m}{2}},{\frac {m}{2}}+1,{\frac {m}{2}}+2,\ldots }$${\displaystyle m}$

• nはゴルフホールスコア（）で、奇数の場合は${\displaystyle n={\frac {m+1}{2}},{\frac {m+1}{2}}+1,{\frac {m+1}{2}}+2,\ldots }$${\displaystyle m}$

• pは良いショットの確率です（）${\displaystyle 0<p<1}$

• qは、悪いショットの確率（）および（）である。${\displaystyle 0<q<1}$${\displaystyle 0<p+q<1}$

モーメント生成関数は次のように表されます。

${\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}$mが奇数 の場合

そして

${\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}}$mが偶数 の場合

と

${\displaystyle X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \choose 2\,jm-1}{p}^{m+1-j}\left(1-pq\right)^{2\,jm-1}}$

そして

${\displaystyle Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,jm}{p}^{-j+m}\left(1-pq\right)^{2\,jm}}$

各生モーメントと各中心モーメントはモーメント生成関数で簡単に決定できますが、関連する式が大きすぎるためここでは提示できません。

パー3の場合:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{3}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}\left({p}^{2}+2\,p\,\left(1-p-q\right)\right)+\\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{2}+\left(1-p-q\right)^{3}\right)\end{aligned}}}$$

パー4の場合:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{4}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}{p}^{2}+\\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(2\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)+3\,p\,\left(1-p-q\right)^{2}\right)+\\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{3}+\left(1-p-q\right)^{4}\right)\end{aligned}}}$$

との類似点に注目してください。パー 5 の場合: ${\displaystyle P(T_{3}=n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{5}=n\right)&={n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left({p}^{3}+3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)\right)+\\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)^{2}+4\,p\,\left(1-p-q\right)^{3}\right)+\\&+{n-1 \choose n-5}{q}^{n-5}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{4}+\left(1-p-q\right)^{5}\right)\end{aligned}}}$$

およびの式との類似性に注意してください。 ${\displaystyle P(T_{3}=n)}$${\displaystyle P(T_{4}=n)}$

ゴルフで、ホールのストローク数の 頻度分布を表す確率分布を作成しようとする場合、最も単純な設定は、ストロークには次の 2 種類しかないと仮定することです。

確率 のよいストローク、  
確率 の悪いストローク。${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$
その間
良いショットは値1を取得し、
悪いショットの場合は値は 0 になります。

ショット値の合計がホールのパーと等しくなると、それがそのホールに必要なストローク数になります。この設定ではバーディーは不可能であることは明らかです。結局のところ、最小のストローク数がホールのパーです。ハーディ (1945) もおそらくそのことに気付き、ストロークには良いストロークと悪いストロークの 2 種類だけではなく、3 種類あると仮定するアイデアを思いつきました。 ${\displaystyle (G)}$${\displaystyle (B)}$

確率的に良い、確率的に    
悪い、確率的に    
普通。   
${\displaystyle (G)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (B)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (O)}$${\displaystyle 1-p-q}$

実際、ハーディは良いショットをスーパーショット、悪いショットをサブショットと呼んでいました。^[1]ミントンは後にハーディのスーパーショットをエクセレントショット、ハーディのサブショットをバッドショットと呼びました。^[2]この記事では、ミントンのエクセレントショットをグッドショットと呼んでいます。ハーディは1945年に3種類のショットのアイデアを思いつきましたが、ホールスコアの確率分布の実際の導出は2012年にファンデルヴェンによって初めて示されました。^[3]${\displaystyle (E)}$${\displaystyle (B)}$${\displaystyle (G)}$

ハーディは、良いストロークの確率は悪いストロークの確率に等しい、つまり であると仮定しました。これはカンによって確認されました。 ${\displaystyle p=q}$

ハーディのモデルは、すべてのストロークが互いに独立しており、良いショットを生み出す確率が悪いショットを生み出す確率に等しいという点で非常に単純である。^[4]

振り返ってみると、ハーディは正しかったかもしれない。van der Ven (2013) の表 2 のデータがそれを示している。この表は、 2012 年全英オープン選手権の第 1 ラウンドと第 2 ラウンドの 1 番ホールから 18 番ホールまでの- 値と- 値の推定値を示している。平均値はそれぞれ 0.0633 と 0.0697 であった。後に Cohen (2002) は、とが異なるべきであるという考えを提唱した。Kang はこれについて次のように述べている。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

コーエンはさらに一歩進んで、良いショットと悪いショットの確率が異なる可能性があると指摘した。^[4]

ハーディ分布の場合、との値は異なる場合があります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ハーディ分布は、 1 人のプレーヤーのホール スコアの確率分布を示します。ハーディ分布が当てはまるかどうかを確認するには、適合度検定 (適合度検定を参照) を実行するために複数の観測値が必要です。これは、1 人の個人に同じホールを複数回プレーさせることによって実行できます。適合度検定では、純粋な複製を前提としています (複製 (統計)を参照)。つまり、ホールを繰り返しプレーしている間、プレーヤーのゴルフ能力に変化があってはなりません。たとえば、継続的な学習プロセスがあってはなりません (学習を参照)。このような影響は、実際には排除できません。この問題を回避する 1 つの方法は、ほぼ同じゴルフ能力を持つと想定できる複数のプレーヤーを使用することです。このようなプレーヤーは、プロのゴルフ トーナメントの参加者です ( PGA ツアーを参照)。適合度検定を使用する前に、まず参加者が実際にほぼ同じゴルフ能力を持っていることを確認する必要があります。これは、例えばトーナメント初日と2日目のホールスコア間のピアソン相関係数を使用して、各ホールについて個別に行うことができます。プレーヤー間に体系的な違いがない場合（古典的検定理論を参照）、 1日目にあるホールのスコアと2日目にあるホールのスコア間の相関（相関を参照）は、ゼロと有意に異なることはありません（統計的有意性を参照）。これは簡単に統計的に検定できます。van der Venによる研究^[5]では、セントアンドリュースゴルフクラブで開催された2012年オープン選手権のホールごとのスコアを使用して、ハーディ分布の適合度検定の結果が報告されています。分布は各ホールについて個別に検定されています。ピアソンのカイ2乗検定を使用して、ホールスコアの観測サンプル頻度がハーディ分布に従って期待される頻度と有意に異なるかどうかを判断しました。観測頻度と期待頻度の適合度は、一般に非常に満足のいくものでした。

注記