ハーコートの定理

ハーコートの定理は、三角形の面積を、その辺の長さと、その内接円に接する任意の直線から頂点までの垂線距離の関数として表す幾何学の公式である。^[1]

この定理はアイルランドの教授J.ハーコートにちなんで名付けられました。^[2]

頂点A、B、C、対辺の長さがそれぞれa、b、c、面積がKで、三角形の内接円の任意の点に接する直線があるとします。直線からの頂点の垂直距離を a '、 b '、 c ' と符号付きで表します。距離が負になるのは、頂点が内心とは反対側の直線上にある場合のみです。

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

接線が三角形の 1 つの辺を含む場合、距離のうち 2 つはゼロになり、式は、三角形の面積の 2 倍は底辺 (一致する三角形の辺) とその底辺からの高度の積であるというよく知られた式になります。

もしその線が三角形の頂点Aの反対側の外接円に接するならば、 ^{[1] : Thm.3}

${\displaystyle -aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

a'、b'、c'が頂点から任意の内接線までの距離を指すの ではなく、側線から任意の点までの距離を指す場合、式

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

真実であることに変わりはない。^{[3] : p. 11}