アダマールの力学系

物理学と数学において、アダマール力学系（アダマールのビリヤードまたはアダマール・グッツウィラーモデル^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、カオス力学系であり、一種の力学ビリヤードである。 1898年にジャック・アダマールによって導入され^{[ 2 ]} 、 1980年代にマルティン・グッツウィラーによって研究された^{[ 3 ] [ 4 ]。}

このシステムは、一定の負の曲率を持つ表面上における自由（摩擦のない）粒子の運動を考慮します。

これはおそらく、カオス的であることが証明された最初の力学系であり^{[ 5 ]} 、本質的には、エルゴード的な方法で複数の限界点の間を行ったり来たりすることが証明されている^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]。}

アダマールは、軌道間の角度に関する幾何学的議論によって、すべての粒子軌道が不安定かつ双曲線的に互いに離れていくことを示すことができた。^{[ 9 ]}現代の用語では、これはシステムが常に不安定であることを意味し、より重要なのは、すべての軌道が正のリアプノフ指数を持ち、したがってカオス的な振る舞いをするということである。アダマールはカオスの直感を持っていたが、リアプノフ指数やエルゴード理論を明示的に使用したわけではなかった。

フランク・シュタイナーは、アダマールの研究はカオス力学系の史上初の調査とみなされるべきであり、アダマールはカオスの最初の発見者とみなされるべきであると主張している。^{[ 10 ]}彼は、この研究が広く普及したことを指摘し、そのアイデアがアルバート・アインシュタインとエルンスト・マッハの思考に与えた影響を考察している。

このシステムが特に重要なのは、1963年にヤコフ・シナイが、ボルツマン・ギブス気体の古典的な集合体のモデルとしてシナイのビリヤードを研究し、気体中の原子の運動がアダマール力学系の軌跡に従うことを示すことができた点である。

研究対象は、表面上を摩擦なく滑る自由粒子の運動であり、ハミルトニアンが

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

ここでmは粒子の質量であり、$\displaystyle q^{i}}$、${\displaystyle i=1,2}$は多様体上の座標です。${\displaystyle p_{i}}$共役運動量は次のとおりです。

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

そして

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,}$

は多様体上の計量テンソルです。これは自由粒子のハミルトニアンであるため、ハミルトン・ヤコビ運動方程式の解は、多様体上の測地線によって単純に与えられます。

アダマールは、すべての測地線が不安定であることを示すことができた。すべての測地線は互いに指数関数的に乖離し、${\displaystyle e^{\lambda t}}$正のリアプノフ指数を持つ

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}}$

Eは軌道のエネルギーであり、${\displaystyle K=-1/R^{2}}$これは、表面の一定の負の曲率である。

ボルツァ曲面は、一定の負の曲率の例として挙げられます。つまり、種数2の2次元曲面（2つの穴のあるドーナツ）で、一定の負の曲率を持ちます。これはコンパクトなリーマン面です。