グループファミリー

確率論、特に統計学で使用される確率分布の群族は、位置スケール族などの適切な変換を固定分布を持つランダム変数に適用することで得られるもの、またはグループによって作用される確率分布の1つです。^[1]統計理論では、分布の族を群族として考えると、補助統計を特定することができます。^[2]

グループファミリーは、固定分布を持つランダム変数に適切な変換を施すことによって生成できます。^[1]グループファミリーには以下の種類があります。

この族は、ランダム変数に定数を加えることによって得られます。をランダム変数、 を定数とします。 とします。すると から まで変化する固定分布に対して、得られる分布は位置族を構成します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in R}$${\textstyle Y=X+a}$$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X+a\leq y)=P(X\leq ya)=F_{X}(ya)}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty}$

この族は、ランダム変数と定数を掛け合わせることで得られます。をランダム変数、 を定数とします。 とします。すると${\displaystyle X}$${\displaystyle c\in R^{+}}$${\textstyle Y=cX}$$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX\leq y)=P(X\leq y/c)=F_{X}(y/c)}$$

この族は、ランダム変数を定数で乗算し、それに他の定数を加えることによって得られます。をランダム変数、を定数とします。 とします。すると ${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in R}$${\displaystyle c\in R^{+}}$${\displaystyle Y=cX+a}$

$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX+a\leq y)=P(X\leq (ya)/c)=F_{X}((ya)/ c)}$$

次のセクションで説明するプロパティを満たすためには 、 と が重要であることに注意してください。${\textstyle a\in R}$${\displaystyle c\in R^{+}}$

ランダム変数に適用される変換は、合成と反転の下での閉包の性質を満たさなければならない。^[1]