グループコード

符号理論では、群符号は符号の一種です。群符号は 、のサブグループである線形ブロック符号で構成されます。ここで、は有限アーベル群です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle G}$

体系的群符号は、パリティ チェックビットを決定する準同型によって定義される順序の上の符号です。残りのビットは情報ビットそのものです。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle \left|G\right|^{k}}$${\displaystyle nk}$ ${\displaystyle k}$

群符号は、特別な生成行列によって構成することができる。これは線形ブロック符号の生成行列に似ているが、その行列の要素は符号のアルファベットの記号ではなく群の自己準同型である。例えば、生成行列を考える。

${\displaystyle G={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}00\\11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}01\\01\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11\\01\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}00\\11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}00\\00\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}}$

この行列の要素は自己準同型行列です。このシナリオでは、各コードワードは として表すことができます 。 ここでは の生成元です。${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle g_{1}^{m_{1}}g_{2}^{m_{2}}...g_{r}^{m_{r}}}$${\displaystyle g_{1},...g_{r}}$${\displaystyle G}$

• グループコード化録音(GCR)

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