ゴッセンの第二法則

ゴッセンの第2法則は、ヘルマン・ハインリヒ・ゴッセン（1810-1858）にちなんで名付けられたもので、経済主体は、各財またはサービスの限界効用とその価格（その取得に必要な限界支出）の比率が他のすべての財またはサービスのそれと等しくなるように支出を配分するという主張である。正式には、

${\displaystyle {\frac {\partial U/\partial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\partial U/\partial x_{j}}{p_{j}}}~\forall \left(i,j\right)}$

どこ

• ${\displaystyle U}$ユーティリティです
• ${\displaystyle x_{i}}$-番目の商品またはサービスの量${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle p_{i}}$は-番目の商品またはサービスの価格です${\displaystyle i}$

あるエージェントがさまざまな種類の商品やサービスにお金を費やしたと想像してください。ある種類の商品やサービスに費やされた最後の通貨単位が、そのお金で購入できたはずの別の種類の商品やサービスの量に関連する限界効用よりも低い限界効用で購入された場合、エージェントは他の商品やサービスをさらに購入したほうが得策だったことになります。商品やサービスが連続的に分割可能であると仮定すると、ある商品やサービスへの限界支出が他の商品やサービスへの限界支出よりも多くの効用を生み出さない（またはその逆）唯一の方法は、限界支出が等しい効用を生み出す場合です。

効用、財、サービスには必要な特性があり、それぞれの財やサービスについて明確に定義されていると仮定する。エージェントは、 ${\displaystyle \partial U/\partial x_{i}}$

${\displaystyle U\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$

予算の制約を受ける

${\displaystyle W\geq \sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\cdot x_{i}\right)}$

ここで、利用可能なお金の合計額です。ラグランジュ乗数法を使用して、関数を構築します。 ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\lambda \right)=U\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)+\lambda \cdot \left[W-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\cdot x_{i}\right)\right]}$

そして最適化のための第一条件は次のように求められる。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=0}$

（これは単にすべてが使われることを意味します）そして ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0~~\forall i}$

となることによって

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}-\lambda \cdot p_{i}=0~~\forall i}$

これは代数的には

${\displaystyle {\frac {\partial U/\partial x_{i}}{p_{i}}}=\lambda ~~\forall i}$

このような比はすべて に等しいので、比はすべて互いに等しい。 ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle {\frac {\partial U/\partial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\partial U/\partial x_{j}}{p_{j}}}~\forall \left(i,j\right)}$

(1 次条件を使用したあらゆる最大化と同様に、効用関数が特定の凹面要件を満たし、最大化している集合の端に最大値を持たない場合にのみ、方程式が成立することに注意してください。)

• ゴッセンの法則
• 限界効用
• 限界主義

• ゴッセン、ヘルマン・ハインリヒ。Die Entwicklung der Gesetze des menchlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln (1854)。「人間関係の法則とそこから派生した人間の行動の規則」として英語に翻訳(1983) MIT Press、ISBN  0-262-07090-1。