ゴドゥノフの計画

数値解析と数値流体力学において、ゴドゥノフ法は、偏微分方程式を解くための保守的な 数値法であり、セルゲイ・ゴドゥノフによって1959年に提案されました^[1]。この方法は、各セル間境界で正確な、または近似的なリーマン問題を解く保守的な有限体積法と考えることができます。基本的な形式では、ゴドゥノフ法は空間と時間の両方で一次精度ですが、高次の方法を開発するための基本法として使用できます。

古典的な有限体積法の枠組みに従って、離散的な未知数の有限集合を追跡します。 ここで、と は双曲型問題に対する離散的な点の集合を形成します。 ここで、インデックスと はそれぞれ時間と空間の導関数を示します。双曲型問題を制御体積上で積分すると、空間セル平均 の線法(MOL) 定式化が得られます。 これは、1 次、風上有限体積法の古典的な記述です。^[2]$${\displaystyle Q_{i}^{n}={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}q(t^{n},x)\,dx}$$${\displaystyle x_{i-1/2}=x_{\text{low}}+\left(i-1/2\right)\Delta x}$${\displaystyle t^{n}=n\Delta t}$$${\displaystyle q_{t}+(f(q))_{x}=0,}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x_{i-1/2},x_{i+1/2}],}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q_{i}(t)=-{\frac {1}{\Delta x}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right),}$$

上記の式を時々刻々と正確に積分すると、正確な更新式が得られます。 ${\displaystyle t=t^{n}}$${\displaystyle t=t^{n+1}}$$${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-{\frac {1}{\Delta x}}\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right)\,dt.}$$

ゴドゥノフ法は、それぞれの時間積分を、 それぞれの未知数 に対する完全に離散的な更新式を生成する 順方向オイラー法に置き換えます。つまり、 はリーマン問題の正確な解の近似値で あるで積分を近似します。一貫性を保つために、 であり 、 は最初の引数で増加し、2 番目の引数で減少すると仮定します 。 であるスカラー問題の場合、を定義する単純なUpwind スキームを使用できます。 $${\displaystyle \int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt}$$${\displaystyle Q_{i}^{n}}$$${\displaystyle \int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt\approx \Delta tf^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right),}$$${\displaystyle f^{\downarrow }\left(q_{l},q_{r}\right)}$$${\displaystyle f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})\quad {\text{ if }}\quad q_{l}=q_{r},}$$${\displaystyle f^{\downarrow }}$${\displaystyle f'(q)>0}$${\displaystyle f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})}$

完全なゴドゥノフ方式では、近似または正確なリーマン ソルバーの定義が必要ですが、最も基本的な形式では次のように与えられます。 $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\lambda \left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),\quad \lambda ={\frac {\Delta t}{\Delta x}},\quad {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}=f^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right)}$$

線形問題の場合、一般性を失うことなく、 と仮定すると、逆ゴドゥノフ法によって次の式が得られます。 これは、安定性に を必要とする古典的な 1 次逆有限体積法を生じます。 ${\displaystyle f(q)=aq}$${\displaystyle a>0}$$${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\nu \left(Q_{i}^{n}-Q_{i-1}^{n}\right),\quad \nu =a{\frac {\Delta t}{\Delta x}},}$$${\displaystyle \nu =\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1}$

ヒルシュ^[3]によれば、この方式では、における既知の解からにおける解を得るために、次の3つの異なるステップを実行する。 ${\displaystyle t=(n+1)\Delta t\,}$${\displaystyle {t=n\Delta t}\,}$

1. における解の区分定数近似を定義します。区分定数近似はサイズ のセルの解の平均であるため、空間誤差は のオーダーであり、したがって結果のスキームは空間で 1 次精度になります。この近似は有限体積法の表現に対応しており、離散値はセルの状態変数の平均を表します。平均セル値の正確な関係は、積分保存則から取得できます。${\displaystyle {t=(n+1)\Delta t}\,}$${\displaystyle {\Delta x}\,}$${\displaystyle {\Delta x}\,}$
2. セル インターフェースにおけるローカルリーマン問題の解を取得します。これは、全体の手順の中で唯一の物理的なステップです。インターフェースの不連続性は、局所的に保存方程式を満たす波の重ね合わせで解決されます。元の Godunov 法は、リーマン問題の正確な解に基づいています。ただし、近似解を代替として適用することもできます。
3. 時間間隔 後に状態変数を平均します。ステップ 2 の後に取得された状態変数は、各セルにわたって平均化され、時間間隔 中の波の伝播から生じる新しい区分定数近似を定義します。一貫性を保つために、時間間隔は、インターフェイスから発せられる波が隣接するインターフェイスで生成された波と相互作用しないように制限する必要があります。そうしないと、セル内の状況は、相互作用するリーマン問題の影響を受けることになります。これにより、CFL条件が導かれます。ここで、は、ローカルヤコビ行列のセルの固有値から取得される最大波速度です。${\displaystyle {\Delta t}\,}$${\displaystyle {\Delta t}\,}$${\displaystyle {\Delta t}\,}$${\displaystyle |a_{\max }|\Delta t<\Delta x/2\,}$${\displaystyle |a_{\max }|\,}$

1 番目と 3 番目のステップは完全に数値的な性質のものであり、2 番目の物理的なステップである進化段階とは独立した投影段階と見なすことができます。したがって、たとえば、各セル内の区分定数近似を区分線形変化に置き換えることによって、物理的な入力に影響を与えることなく変更することができ、 MUSCL スキームなどの 2 次空間精度スキームの定義につながります。

• Laney, Culbert B. (1998).計算ガス力学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-57069-7。
• Toro, EF (1999).流体力学のためのリーマンソルバーと数値解析法. ベルリン: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8。
• Tannehill, John C.; et al. (1997).計算流体力学と熱伝達(第 2 版). ワシントン: Taylor and Francis. ISBN 1-56032-046-X。
• ウェッセリング、ピーター (2001)。数値流体力学の原理。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-67853-0。